Свойства определителей

Свойство 1. Величина определителя не изменяется, если все его строки заменить столбцами с тем же номером.

=

(Для доказательства достаточно расписать оба определителя и сравнить)

Свойство 1 означает равноправность строк и столбцов определителя.

Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) равносильна умножению определителя на (-1).

Свойство 3. если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен 0.

Согласно свойству 2 при перестановке двух одинаковых строк знак должен поменяться, т.е. = - 2 = 0 =0.

Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или строки на некоторое число , не равное 0, равносильно умножению определителя на . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки или столбца можно вынести за знак определителя.

а а а а а а

а а а =а а а

а а а а а а

Для доказательства заметим, что определитель выражается в виде суммы, каждый член которой содержит один и только один элемент из каждой строки и каждого столбца.

Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или строки равны 0,то определитель равен 0.

(Доказательство: это свойство есть частный случай предыдущего).

Свойство 6. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов пропорциональны, то определитель равен 0.

а а а а а а

= а а а = а а а = ×0=0. (по свойству 3 и 4)

а а а а а а

Свойство 7. Если каждый элемент n-го столбца (или n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (n-ой строке) имеет первые слагаемые, а другой - вторые. Элементы, стоящие на остальных местах этих определителей - одинаковые.

(Проверить применением правила треугольника к правой и левой частям).

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на некоторый общий множитель , отличный от 0, то величина определителя при этом не изменится.

Свойство вытекает из 7 и 6. Это свойство позволяет при вычислении определителя больше третьего порядка понижать порядок определителя.

а +а а а а а а а а а

а +а а а = а а а + а а а = + ×0 =

а +а а а а а а а а а

Для рассмотрения дальнейших свойств определителей введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путём вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Алгебраическое дополнение элемента определителя равняется минору этого определителя, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число - нечётное: = .

Свойство 9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца или строки на их алгебраические дополнения. (Такая сумма называется разложением определителя по элементам строки или столбца).

=

= + + = + .

А₁₁ - алгебраическое дополнение элемента a .

Свойство 10. Сумма произведений элементов, какого либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

, i j

Доказательство:

Заменим элементы на , получим

.

Аналогично можно записать все суммы.