Система однородных линейных уравнений

Рассмотрим особо частный случай линейной системы, когда свободные члены всех уравнений равны нулю, т.е. систему однородных уравнений:

(1)

…………….

Эта система всегда обладает нулевым или тривиальным решением:

x₁=0, x₂=0, … , x_n=0.

Таким образом, однородная система всегда совместна, и речь может идти лишь о числе её решений: будет ли нулевое решение единственным, или, кроме него, система имеет еще другие, нетривиальные решения.

Теорема 1. Любая система однородных линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет нетривиальные решения.

Теорема 2. Система однородных линейных уравнений с n неизвестными тогда и только тогда имеет нетривиальные решения, когда определитель равен нулю.

Лекция 4 Векторы. Операции над векторами

(Тема 2.1.)

План лекции

Определение вектора.

Модуль вектора.

Координаты вектора.

Операции над векторами (скалярное, векторное и смешанное произведения), свойства.

Геометрический вектор – это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка АВ. Векторы обозначают как , а их длины .

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.

Произведением вектора на некоторое число αÎR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженной на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора , если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось Ох называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и положительным направлением оси Ох.

Радиусом-вектором точки М называется вектор соединяющий начало координат с этой точкой.

Единичные векторы координатных осей называются ортами.

Углы α, β, γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом для вектора с координатами Х, Y, Z причем =1.

Если векторы и заданы своими координатами как и , то координаты вектора ma +nb будут равны: {ma₁ +nb₁, ma₂+nb₂, ma₃+nb₃}, а вектор ma +nb=( ma₁ +nb₁) +(ma₂+nb₂) +(ma₃+nb₃) .