Определители n-го порядка

Определение. Определителем n-го порядка называется число, записываемое в виде:

Вычисляется как сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения, т.е. вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей порядка (n-1).

Все перечисленные выше свойства относятся к определителям любого порядка (также определение минора и алгебраического дополнения).

Ранг матрицы.

Определение. Пусть А – некоторая матрица. Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Определитель k-того порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-того порядка матрицы А. Пир этом строки и столбцы этого определителя должны быть расположены относительно друг друга в том же порядке, что и в матрице.

Каждый элемент матрицы будем рассматривать как её минор первого порядка.

Пример. Составить всевозможные миноры третьего порядка матрицы

и какой-нибудь минор второго порядка.

Решение. Для получения миноров третьего порядка надо выделить все три строки матрицы и какие-нибудь три её столбца. Таких миноров будет четыре:

Выделим теперь в той же матрице первую и третью строки и второй и третий столбцы. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют минор второго порядка рассматриваемой матрицы:

Рангом матрицы назовём наивысший порядок её минора, отличного от нуля.

Другими словами, целое число r > 0 называется рангом матрицы, если среди миноров r-того порядка этой матрицы есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.

Пример. В предыдущем примере миноров порядка выше третьего данная матрица не имеет, все миноры третьего порядка равны нулю, а минор М второго порядка отличен от нуля. Поэтому ранг её равен двум: r (A)=rang A=2.

Вычисление ранга матрицы непосредственно по его определению, вообще говоря, громоздко так как приходится вычислять большое число миноров. Рассмотрим другой способ, основанный на приведении матрицы к ступенчатому виду.

Матрицу А называют ступенчатой, если:

а) любая её строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент;

б) первый отличный от нуля элемент каждой её строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Пример. Матрицы

и

являются ступенчатыми (или имеют ступенчатый вид), а матрицы

ступенчатыми не являются.

Назовём элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования её строк:

1) перестановку двух каких-нибудь строк;

2) умножение элементов какой-нибудь строки на чисо, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам какой-нибудь строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое (одно и тоже) число.

Поясним эти преобразования примером:

Способ вычисления ранга произвольной матрицы будет вытекать непосредственно из следующих утверждений:

1). При элементарных преобразованиях и отбрасывании нулевой строки (т. е. строки, у которой все элементы равны нулю) ранг матрицы не изменяется.

2). Всякую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и выбрасывания нулевых строк.

3). Ранг ненулевой матрицы равен числу строк ее ступенчатого вида.

Пример. Вычислить ранг матрицы А путём приведения её к ступенчатому виду.

Проведём следующие элементарные преобразования:

.

Отсюда видно (так как ), что ранг данной матрицы А равен двум.

Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка.

E – единичная матрица того же порядка .

Матрица B называется правой обратной к A, если AB = E

Матрица С называется левой обратной к A, если CA = E

Очевидно, что матрицы B и C – тоже квадратные. Покажем, что если B и C существуют, то они совпадают между собой.

AB = E CA = E

C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B

Теорема. Для того, чтобы к матрице A существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы и ).

Определение: Квадратная матрица , определитель которой отличен от нуля, называется невыроженной.

Если - обратная к и - обратная к , обозначим =