Розрахунок показників функційної безпечності і безвідмовності при мажоритарному резервуванні

Загальну ймовірність безпечної роботи технічного засобу при мажоритарному резервуванні "n" із "m" (при однаковій функціональній безпеці каналів резервування) визначають за формулою

де Р_бj(t) – імовірність безпечної роботи кожного каналу резервування;

Р_б.ре(t) – імовірність безпечної роботи розв’язувального елемента;

С ^j_m – число сполучень "j" із "m".

де m!, j! – факторіали чисел.

Загальна ймовірність безвідмовної роботи технічного засобу при мажоритарному резервуванні типу "n" із "m" дорівнює

де P_j(t) – ймовірність безвідмовної роботи кожного каналу резервування;

P_р.е(t) – ймовірність безвідмовної роботи розв’язувального елемента.

Для максимального варіанта мажоритарного резервування з функційної безпечності (при n = m – 1) можна використовувати спрощену формулу для визначення ймовірності безвідмовної роботи технічного засобу:

При експоненційному законі розподілу небезпечних відмов функція безвідмовності технічного засобу при мажоритарному резервуванні "n" із "m" буде мати вигляд

де l_j – інтенсивність відмов кожного з каналів резервування.

Середній наробіток до відмови технічного засобу при мажоритарному резервуванні "n" із "m" (при n = m – 1) дорівнює

або, з урахуванням співвідношень Т_срj=1/l_j, n=m–1, його можна визначити (при n = m – 1) так :

де Т_срj – середній наробіток до відмови одного каналу резервування технічного засобу (нерезервованого технічного засобу).

Формула (4.30) дозволяє знайти мінімальну кількість каналів резервування при визначеному значенні середнього наробітку до відмови одного каналу резервування і його допустимому значенні для всієї резервованої системи.

Формула (4.31) є найбільш важливою і показує, що середній наробіток до відмови резервованої системи при n=m–1 завжди є меншим, ніж без використання резервування. У даному випадку дріб (m+n)/mn є значення програшу за критерієм середнього наробітку до відмови резервованої системи у порівнянні з одноканальним варіантом структури.

Аналіз формул (4.23) і (4.25) показує, що при однаковій кількості каналів резервування (m=const) із збільшенням числа "п" підвищується функційна безпечність технічного засобу, але знижується його безвідмовність. При n=const із збільшенням числа "m" підвищується безвідмовність, але знижується функційна безпечність технічного засобу.

Тільки для деяких варіантів мажоритарного резервування, наприклад, для варіанта "2" із "3", розрахункові формули мають подібний вигляд, але істотно відрізняються за значеннями ймовірностей безпечної й безвідмовної роботи, які в них входять, тому що найчастіше Р_бj(t) ¹ P_j(t).

Для мінімально можливого і найбільш поширеного варіанта мажоритарного резервування типу "2" із "3" загальна ймовірність безпечної роботи дорівнює

Р_б.2/3 (t)=[3P_бj ²(t) – 2P_бj ³(t)]Р_б.ре. (4.32)

При безпечному розв’язувальному елементі загальна ймовірність безпечної роботи технічного засобу з мажоритарним резервуванням типу "2" із "3" дорівнює

При експоненційному законі розподілу небезпечних відмов функція безпечності технічного засобу при мажоритарному резервуванні "2" із "3" буде мати вигляд

де l_нj – інтенсивність небезпечних відмов кожного з каналів резервування.

Середній наробіток до небезпечної відмови технічного засобу при мажоритарному резервуванні "2" із "3" дорівнює

або, з урахуванням співвідношення Т_нj=1/l_нj, визначається так:

де Т_ср.нj – середній наробіток до небезпечної відмови одного каналу резервування технічного засобу (нерезервованого технічного засобу).

Для мажоритарного резервування типу "2" із "3" загальна ймовірність безвідмовної роботи дорівнює

Р_2/3 (t)=[3P_j ²(t) – 2P_j ³(t)]Р_р.е. (4.37)

При ідеальному розв’язувальному елементі загальна ймовірність безвідмовної роботи технічного засобу з мажоритарним резервуванням типу "2" із "3" дорівнює

Р_2/3 (t)=3P_j ²(t) – 2P_j ³(t). (4.38)

При експоненційному законі розподілу відмов функція безвідмовності при мажоритарному резервуванні "2" із "3" буде мати вигляд

де l_j – інтенсивність відмов кожного з каналів резервування.

Середній наробіток до відмови технічного засобу при мажоритарному резервуванні "2" із "3" дорівнює

або, з урахуванням співвідношення Т_срj=1/l_j, визначається так:

де Т_срj – середній наробіток до відмови одного каналу резервування технічного засобу ( нерезервованого технічного засобу).

Для визначення ймовірностей безпечної і безвідмовної роботи резервованої структури при мажоритарному резервуванні “3” із “4” необхідно у формули (2.22) і (2.23) підставити значення n=3 m=4 та значення ймовірностей безпечної й безвідмовної роботи каналів резервування. Тоді, при експоненційному законі розподілу відмов, ці ймовірності визначають за формулами

Р_б.3/4 (t) = 3e^{–4lнj t} – 8е^{–3нj t} +6е^{–2lнj t}; (4.42)

Р_3/4 (t) = 4e^{–3lj t} – 3е^{–4lj t}. (4.43)

При мажоритарному резервуванні “3” із “4” (у порівнянні з одноканальною структурою) його середній наробіток до небезпечної відмови збільшується, а середній наробіток до відмови зменшується:

Т_ср.н = 13/12 Т_ср.нj; (4.44)

Т_ср = 7/12 Т_ср.j , (4.45)

де Т_ср.нj, Т_ср.j – середній наробіток до небезпечної відмови та середній наробіток до відмови одноканальної структури технічного засобу, Т_ср.нj=1/l_нj; Т_ср.j =1/l_j.

Виграш з підвищення функційної безпечності є тільки при значеннях імовірності безпечної роботи одного каналу резервування P_бj(t)> 0,24; виграш із безвідмовності – тільки при значеннях імовірності безвідмовної роботи одного каналу Р_j(t) > 0,77.

Періоди експлуатації (0 – t_xн) і (0 – t_x) об'єкта з варіантом резервування “3” із “4”, у яких є виграші з функційної безпечності та безвідмовності, не перевищують відповідно таких значень:

4.2.7. Розрахунок показників функційної безпечності у разі використання ненавантажувального загального, роздільного і ковзного резервування

Використання ненавантажувального резервування для підвищення функційної безпечності технічного засобу можливе тільки в тому випадку, якщо забезпечується його безпечне функціонування з моменту початку формування небезпечної відмови резервованого технічного засобу до закінчення його переключення на резерв. Для цього потрібно гарантовано або з допустимими значеннями ймовірностей забезпечити:

- контроль визначення початку формування небезпечної відмови (до закінчення її прояву);

- мінімальний час переключення на резерв, за який технічний засіб не зможе перейти у небезпечний стан;

- переключення на резерв.

У більшості випадків це вирішується дуже складно, тому ненавантажувальне резервування для підвищення функційної надійності майже не застосовується, хоча у порівнянні з навантажувальним резервуванням цей спосіб теоретично є найкращим.

де (m–1) – число резервних елементів;

l_нj – інтенсивність небезпечних відмов технічного засобу без резервування.

При виконанні розрахункової роботи кількість каналів резервування має дорівнювати мінімальній кількості каналів резервування технічного засобу у разі використання загального навантажувального резервування.

Якщо задаються норми функційної безпечності, тоді розрахунок виконують методом послідовного наближення ймовірності безпечної роботи технічного засобу до необхідних вимог при зміні кількості каналів резервування.

Середній наробіток до небезпечної відмови визначають за такими формулами:

Таким чином, середній наробіток до небезпечної відмови при ненавантажувальному резервуванні в m–разів більше, ніж в одноканальній структурі.

Щільність розподілу наробітку до небезпечної відмови дорівнює

Інші показники функційної безпечності визначаються за формулами (2.27), (2.33).

При роздільному резервуванні спочатку виконується розрахунок імовірностей небезпечної відмови за формулою (4.1) для кожного паралельного з'єднання елементів технічного засобу, а потім визначається загальна ймовірність безпечної роботи послідовного з'єднання за формулою (3.15). Після цього визначаються інші показники функційної безпечності за формулами взаємозв'язку (2.27), (2.33) і (2.35).

При неоптимальному роздільному ненавантажувальному резервуваннікількість резервних елементів або груп елементів однакова для кожного основного елемента або групи, тому структура пристрою не мінімізована і функційна безпечність заданого пристрою може бути значно завищена. При виконанні розрахункової роботи для такого варіанта структури кількість каналів резервування для кожного елемента або групи елементів має дорівнювати мінімальній кількості каналів резервування технічного засобу у разі використання загального навантажувального резервування.

При оптимальному роздільному ненавантажувальному резервуваннікількість резервних елементів або груп елементів не є однаковою для кожного основного елемента або групи. Вона визначається відповідно до їх функційної безпечності й вимог до безпечності кожного резервованого елементу, які визначають за формулою (4.17). Розрахунок кількості необхідних резервних елементів виконують методом послідовного наближення ймовірності безпечної роботи резервованих елементів або груп елементів до необхідних вимог на кожний елемент або кожну групу елементів. Кількість резервних елементів структури у цьому разі можна значно скоротити при забезпеченні мінімально необхідних вимог із функційної безпечності заданого пристрою (без суттєвого перевищення заданих або допустимих норм).

де n – число елементів, які резервуються;

m – число резервних елементів.

Загальна ймовірність безпечної роботи всієї структури технічного засобу з урахуванням її частини, яка не може бути зарезервована (не містить взаємозамінних елементів) дорівнює

де P_бч– ймовірність безпечної роботи її частини, яка не може бути зарезервована.

Інші показники функційної безпечності визначаються за формулами взаємозв'язку (2.27), (2.33) і (2.35).

4.2.8. Розрахунок показників безвідмовності у разі використання ненавантажувального загального, роздільного і ковзного резервування

Використання ненавантажувального резервування для підвищення безвідмовності технічного засобу можливе тільки в тому випадку, якщо забезпечується його працездатний стан із моменту початку формування відмови резервованого технічного засобу до закінчення його переключення на резерв. Якщо ця вимога не забезпечується, тоді резервні елементи набувають статусу запасних і не впливають на показники безвідмовності (можуть змінювати тільки показники готовності при їх використанні).

де (m–1) – число резервних елементів;

l_j – інтенсивність відмов технічного засобу без

резервування.

Щільність розподілу часу безвідмовної роботи дорівнює

Інші показники безвідмовності визначаються за формулами (2.5), (2.14).

При роздільному резервуванні спочатку виконується розрахунок імовірностей безвідмовної роботи за формулою (4.57) для кожного паралельного з'єднання елементів технічного засобу, а потім визначається загальна ймовірність безвідмовної роботи послідовного з'єднання за формулою (3.15). Після цього визначаються інші показники безвідмовності за формулами взаємозв'язку (2.5), (2.14) і (2.18).

Виграш зі зменшення ймовірності небезпечної відмови при роздільному резервуванні, в порівнянні з одноканальною структурою КТЗ, також залежить від часу його експлуатації та визначається таким чином:

де Q_н.рр(t) – імовірність небезпечної відмови КТЗ при роздільному резервуванні.

де Q_н.зр(t) – імовірність небезпечної відмови КТЗ при загальному резервуванні.

де n – число елементів, які резервуються;

m – число резервних елементів.

Інші показники безвідмовності визначаються за формулами взаємозв'язку (2.5), (2.12) і (2.14).

Виграш з підвищення ймовірності безпечної роботи при введенні ненавантажувального резервування є завжди, причому він підвищується зі збільшенням інтенсивності небезпечних відмов, числа резервних об'єктів і часу експлуатації.

4.2.9. Розрахунок показників функційної безпечності і безвідмовності у разі використання змішаного резервування

Для розрахунку показників функційної безпечності й безвідмовності при змішаному резервуванні складають РЛС ФБ і РЛСБ, за якими визначають найпростіші з'єднання (послідовні чи паралельні). Після цього методом згортання поетапно скорочують число елементів у РЛС ФБ і РЛСБ (до одного) і на кожному етапі виконують розрахунки одного з показників функційної безпечності і/чи безвідмовності частин технічного засобу за формулами для послідовного з'єднання елементів (3.15) - (3.24) або для паралельного з'єднання елементів (3.25) - (3.28). Далі визначають імовірність безпечної (безвідмовної) роботи або ймовірність небезпечної відмови (відмови) для всього змішаного резервування, після чого обчислюють, при необхідності, інші показники функційної безпечності й безвідмовності технічного засобу за формулами взаємозв'язку відповідно (2.27), (2.33), (2.35) і (2.5), (2.12), (2.14).

4.3. Розрахунок показників функційної безпечності невідновлюваних резервованих технічних засобів за графами станів