Задачі лінійного програмування

В цьому розділі розглянемо приклади задач лінійного програмування.

ПРИКЛАД 13.На двох підприємствах, I і II, ведуться роботи по виробництву двох моделей автомобілів (модель А і модель В). Причому по ряду причин ця робота виконується на кожному підприємстві в течію не більше ніж 30 ч в тиждень. Підприємство I проводить частини для моделі А за 10 ч і частини для моделі В за 5 ч. На підприємстві II збірка моделі А проводиться за 5 ч, а моделі В за 10 ч. Прибуток при продажу моделі А складає 200 фунтів, а моделі В 300 фунтів. Скільки моделей кожного типу {х і у) слід проводити кожного тижня для отримання максимального доходу?

Перш за все, давайте ясно запишемо всю наявну інформацію. Краще (і для задач лінійного програмування це вже стало традиційним) представляти початкові дані в табличній формі (табл. 9.4.).

Таблиця 9.4

Загальний прибуток 200х + З00у

Оскільки підприємство I працює не більше 30 ч в тиждень, то

Оскільки підприємство 11 працює не більше 30 ч в тиждень, то

Оскільки продукція не може виражатися негативним числом, то

Таким чином, безліч всіх можливих варіантів числа виробів (х, у) може бути представлений у вигляді наступної багатокутної множини (х і у— натуральні числа):

Графічна інтерпретація множини S представлена на мал. 9.15

Рис.9.15 Графічна інтерпретація безлічі допустимих значень

задачі прикладу 19.

Координати вершин А, В і З рівні 0 і З,2 і 2,З і 0 відповідно. В одній з цих крапок вираз 200х + З00у приймає найбільше значення. Підстановка значень координат крапок А, В і З в цей вираз показує, що цією крапкою є крапка В. Таким чином, найбільш вигідно проводити кожного тижня дві машини моделі А і дві машини моделі б.

Приведений вище приклад штучний. Змініть його умову так, щоб він більше відповідав дійсності.

ПРИКЛАД 14.З дерева і листового заліза виготовляються іграшки двох типів, партіями по 100 штук кожного типу. На іграшку потрібні наступні матеріали, представлені в табл. 9.5.

Таблиця 9.5

Кількість матеріалів, необхідних для виробництва іграшок

На складі є 150 куб. м деревини і 70 кг металу, прибуток від продажу іграшки I типу складає 20 коп., а II типу — 30коп. Яке число партій іграшок кожного типу повинне виготовлятися для отримання максимального прибутку?

ПРИКЛАД 15. На фабриці проводяться звичайна і поліпшена моделі одного і того ж виробу. Для виробництва кожної моделі устаткування використовується відповідно до даних, представлених в табл. 9.6.

Таблиця 9.б

Витрати часу на виробництво виробів

Машини працюють не більше 12 ч в доба. Прибуток від звичайної моделі складає 3 крб. і від поліпшеної моделі — 6 крб. Скільки вимагається проводити кожній моделі для отримання максимального прибутку?

ПРИКЛАД 16. Агротехнічний експеримент вимагає, щоб на деяку ділянку було внесено принаймні 30 фунтів фосфатних і 8 фунтів азотних добрив. В лабораторії залишилися від колишніх дослідів 10-фунтові мішки добрив від постачальників А і В. Мінімальна кількість необхідних хімікатів від цих постачальників приведена в табл. 9.7.

Таблиця 9.7

Витрати хімікатів на агротехнічний експеримент

Добрива змішані з піском, який нейтральний, але дає можливість рівномірно розподілити добрива. Разом з тим повинне бути гарантовано дотримання норм внесення добрив. Скільки мішків від кожного постачальника повинне бути узято для виконання вказаних вище вимог. Буде яка загальна вага мішків, доставлених на ділянку?

1.