Оценивание систем уравнений

Для нахождения параметров системы уравнений (7.1) независимо применяется МНК, после чего проводится анализ качества полученных оценок.

Системы рекурсивных уравнений (7.2), в которых эндогенные переменные последовательно (рекурсивно) связаны друг с другом, также могут быть оценены с использованием обычного МНК. В этих моделях структурные уравнения оцениваются поэтапно, т. е. на первом этапе оцениваем Y₁, затем Y₂ (в общем случае N уравнений, последовательно Y₁ ® Y₂ ® … ® Y_N).

Наиболее часто в экономике приходится рассматривать системы одновременных уравнений вида (7.4). Если применить к данной системе обычный метод наименьших квадратов, то, как отмечено в разделе 6.2, полученные оценки будут несостоятельными вследствие корреляции эндогенных переменных с остатками регрессии. Поэтому для оценивания систем одновременных уравнений применяют такие специальные методы, как косвенный метод наименьших квадратов, двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) в сочетании с методом инструментальных переменных, трехшаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) основан на использовании приведенных уравнений системы, которые могут быть получены в результате преобразования структурных уравнений и должны содержать в правых частях только экзогенные переменные Х.

Процедура КМНК проводится по следующей схеме:

1. Исходя из структурных уравнений системы, строятся уравнения в приведенной форме (приведенная форма модели).

2. Оцениваются по МНК коэффициенты уравнений в приведенной форме.

3. На основе оценок, полученных на этапе 2, которые связаны определенными соотношениями с исходными параметрами, находятся оценки и самих параметров (коэффициентов структурных уравнений).

Например, разрешая уравнения системы (7.4) относительно y₁ и y₂, запишем уравнения в приведенной форме:

(7.6)

,

где

(7.7)

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных уравнений, в которых эндогенные переменные выражены через все предопределенные переменные исходной системы и случайные отклонения.

Далее, применяя к уравнениям (7.6) обычный МНК, получим оценки и . В свою очередь, равенства (7.7) позволяют выразить исходные параметры через a, b, g и получить оценки косвенного метода наименьших квадратов , .

В рассмотренном примере уравнения (7.7) однозначно разрешимы относительно структурных параметров, что позволяет найти их несмещенные оценки. Очевидно, что подобная ситуация далеко не всегда имеет место. Таким образом, возникает вопрос: при каких условиях можно полностью восстановить структурную форму модели по приведенной? Поставленный вопрос отражает сущность задачи, логически предшествующей оцениванию уравнений, и подводит нас к необходимости рассмотрения проблемы идентификации систем эконометрических уравнений.

Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить все коэффициенты структурных уравнений.

Исходная система называется неидентифицируемой, если хотя бы один из коэффициентов участвующих в ней структурных уравнений не может быть определен (восстановлен) по коэффициентам приведенных уравнений.

Исходная система называется сверхидентифицируемой, если по коэффициентам приведенных уравнений определяются все коэффициенты приведенных уравнений, причем один или несколько коэффициентов данной приведенной формы могут одновременно принимать различные числовые значения.

Обычно модель является идентифицируемой, когда количество оцениваемых структурных параметров в точности равно количеству оцененных коэффициентов приведенной формы. Проявление сверхидентифицируемости связано с количеством наблюдений: при достаточно большом объеме выборки все различные состоятельные оценки параметра близки к одному и тому же истинному значению. Неидентифицируемость уравнения системы не связана с числом наблюдений и определяется внутренней структурой модели, которая в данном случае формируется таким образом, что общее число структурных коэффициентов превышает число коэффициентов приведенной формы.

Для получения необходимых выводов об идентифицируемости структурных уравнений разработаны следующие необходимые и достаточные условия. Если число эндогенных переменных в определенном уравнении системы обозначим через Н, а число предопределенных переменных, которые присутствуют в системе, но не входят в данное уравнение, – через D, то необходимое условие идентифицируемости уравнений модели может быть представлено в виде следующего счетного правила:

D + 1 = Н - уравнение идентифицируемо;

D + 1 < Н - уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > Н - уравнение сверхидентифицируемо.

Достаточное условие идентифицируемости, вытекающее из общей теории систем линейных уравнений, гласит, что определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не меньше числа эндогенных переменных системы минус единица.

Рассмотрение задачи идентифицируемости структурных уравнений необходимо для выбора метода статистического оценивания параметров модели. Для оценки идентифицируемого уравнения системы применяется косвенный метод наименьших квадратов, для оценки сверх– идентифицируемых уравнений – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Основные понятия двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) описаны нами в разделе 6.2.2 предыдущей главы. Нетрудно заметить, что в приведенной форме (7.6) экзогенные переменные х₁ и х₂ можно рассматривать как инструментальные для переменных у₁, у₂, не коррелирующие с остатками модели. На практике метод инструментальных переменных применяется в форме ДМНК, который в данном случае осуществляется следующим образом: в качестве инструментальных переменных используются прогнозные значения , переменных у₁, у₂, полученные при оценивании приведенной формы. Затем эти значения подставляются в правую часть структурной формы (7.4) и строятся МНК-оценки структурных коэффициентов. Если система точно идентифицируема, то оценки двухшагового метода наименьших квадратов совпадают с оценками, полученными косвенным методом наименьших квадратов. Очевидно, что в случае сверхидентификации уравнения системы имеется возможность использовать различные наборы инструментальных переменных. Тогда, согласно ДМНК, переменные должны представлять собой линейные комбинации инструментальных переменных, наиболее тесно коррелирующих с переменными Y.

Для оценивания систем одновременных уравнений может быть применен так называемый трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК), который учитывает взаимодействие уравнений в системе. Он более эффективен, чем ДМНК, так как позволяет проводить одновременное оценивание всех параметров системы в том случае, когда случайные отклонения различных уравнений системы взаимозависимы. В трехшаговом методе наименьших квадратов сохраняются первые два шага ДМНК. Однако полученные по ДМНК оценки уточняются с помощью одновременного оценивания на третьем шаге. На этом шаге используется обобщенный метод наименьших квадратов, т. е. составляется матричное уравнение системы и оценивается ковариационная матрица остатков всех уравнений, входящих в систему. Затем эта матрица используется для вычисления оценок всех структурных параметров.

Процедура ТМНК одновременной оценки всех параметров уравнений системы как внешне не связанных широко применяется в стандартных компьютерных пакетах.

Пример 7.1.[3]. Необходимо проверить, является ли идентифицируемой следующая эконометрическая модель*:

.

Модель имеет три эндогенные (у₁, у₂, у₃) и три экзогенные (х₁, х₂, х₃) переменные. Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

Первое уравнение.

Необходимое условие: эндогенных переменных – 2 (у₁, у₃), отсутствующих экзогенных – 1 (х₂).

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие: в первом уравнении отсутствуют переменные у₂ и х₂. Составим матрицу А из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение:

Необходимое условие: эндогенных переменных – 3 (у₁, у₂, у₃), отсутствующих экзогенных – 2 (х₁, х₃).

Выполняется необходимое равенство: 3 = 2 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицировано.

Достаточное условие: во втором уравнении отсутствуют переменные х₁ и х₃. Составим матрицу В из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение:

Необходимое условие: эндогенных переменных – 2 (у₂, у₃), отсутствующих экзогенных – 1 (х₂).

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие: в третьем уравнении отсутствуют переменные у₁ и х₂. Составим матрицу С из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть оценена косвенным методом наименьших квадратов.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Чем вызвана необходимость использования систем уравнений в эконометрическом моделировании?

2. Что представляют собой системы одновременных уравнений?

3. Каким методом проводится оценивание параметров систем рекурсивных уравнений?

4. Как интерпретируется состав переменных в системе одновременных уравнений?

5. Поясните различие между структурной и приведенной формой модели в виде системы регрессионных уравнений.

6. В чем состоит суть косвенного метода наименьших квадратов (КМНК)?

7. Какую проблему необходимо рассматривать при численной оценке параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений?

8. Назовите причины сверхидентифицируемости и неидентифицируемсти систем одновременных уравнений.

9. Сформулируйте необходимое и достаточное условия идентифицируемости систем.

10. В чем состоит суть метода инструментальных переменных в форме двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) при оценивании систем одновременных уравнений?

11. В чем заключается процедура оценивания параметров систем регрессионных уравнений, которая носит название трехшагового метода наименьших квадратов (ТМНК)?

12. Рассматривается система уравнений вида:

Укажите, какие переменные здесь являются экзогенными, а какие – эндогенными.

Проверьте, является ли данная система идентифицируемой. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить переменную х?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник / С.А. Айвазян, В.С.Мхитарян. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 448 с.

2. Магнус Я.Р. Эконометрика. Начальный курс: Учебник / Я.Р. Магнус, Л.К. Катышев, А.А. Пересецкий. – М.: Дело, 2000. – 400 с.

3. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. И.И. Ели­сеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 190 с.

4. Эконометрика: Учебник / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 311 с.

5. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. / К. Доугерти. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 402 с.

6. Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие / С.А. Бородич. – Мн.: Новое знание, 2001. - 408 с.

7. Мардас А.Н. Эконометрика: Учебное пособие / А.Н. Мардас. – СПб.: Питер, 2001. – 144 с.

8. Курс экономической теории: Учебник / Под ред. М.Н. Чепурина. - Киров: АСА, 2001. – 752 с.

9. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 315 с.

10. Gujarati D.N. Basic Econometrics / D.N. Gujarati. - New York: McGraw-Hill, 1995. - 838 p.