Уравнения предельного равновесия для сыпучих и связных грунтов

Угол наибольшего отклонения. При действии на поверхность грунта местной нагрузки в любой точке грунта М для любой пло­щадки тп, проведенной через эту точку под углом а (рис. 64, а), возникнут нормальные и касательные напряжения. К нормальным напряжениям при математическом рассмотрении вопроса следует отнести и силы связности, суммарно оцениваемые [см. формулу (11.23')] давлением связности рг. Тогда на площадку тп (рис. 64, а) будут действовать нормальное напряжение оа+ре и каса­тельное Та .

При изменении угла а величина составляющих напряжений так­же будет меняться и, если касательные (сдвигающие) напряжения достигнут определенной доли от нормальных, то, как показывают опыты на сдвиг, произойдет скольжение одной части грунта по дру­гой.

Таким образом, условием предельного равновесия грунта в дан­ной точке будет

Та < !(Оа + Ре)

или

Оа + рг

Если / — величина постоянная, то, как показано в гл. II, в пре­дельном состоянии она представляет собой тангенс угла наклона прямолинейной огибающей кругов предельных напряжений (рис. 64, б, в).

С другой стороны, согласно рис. 64, а

Та

аа + Р>

= *8в.

Это отношение равно тангенсу угла отклонения 9, т. е. угла, на ко­торый отклоняется полное напряжение для площадки о от нормали к этой площадке.

Рис. 64. Круги предельных напряжений:

а — схема напряжений в данной точке; б— диаграмма сдвига для сыпучих грунтов; в — то же, для грунтов связных

Так как через заданную точку можно провести множество пло­щадок, то, очевидно, необходимо отыскать самую невыгодную пло­щадку, для которой будет существовать максимальный угол откло­нения бтах- Тогда

1§ бтах ^

Условия предельного равновесия. Для сыпучих грунтов согласно диаграмме сдвига (см. рис. 64, б) максимальное значение угла от­клонения бтах будет тогда, когда огибающая ОЕ коснется круга предельных напряжений.

Как было показано ранее (см. гл. II, § 4) и что вытекает из гео­метрических соотношений, поставленному условию удовлетворяет

120 равенство (11.24):

ОЧ — 02 01 + 02

31П ф,

где 01 и 02 — главные напряжения;

Ф — угол внутреннего трения грунта.

Это и есть условие предельного равновесия для сыпучих грун­тов. Ему можно придать несколько другой вид после несложных тригонометрических преобразований, а именно

02 = 01

1 — 51П ф 1 + 51Пф

или

— = 18а(45°=Рф/2)

(11.24")

Последнее выражение весьма широко используется в теории давления грунтов на ограждения, причем знак «минус» (в скобках) соответствует так называемому активному давлению, а знак «плюс» — пассивному сопротивлению сыпучих грунтов.

Условию предельного равновесия для сыпучих грунтов иногда придают иной вид, выразив главные напряжения 01 и 02 через со­ставляющие напряжения о2, ау и хуг (для плоской задачи). Тогда будем иметь следующее выражение, тождественное зависимости (11.24):

(02 — 0^)2 +4т

(0у + ог)<

5Ш2ф.

(11.24'")

Для связных грунтов, подобно предыдущему, пользуясь диа­граммой предельных напряжений (рис. 64, в), получим условие пре­дельного равновесия в виде

01 — 02

01 + 02 + 2/?е

= 51П ф,

(11.25')

откуда

01 — 02 :

2 5 ИТ

+ 0"2

(11.25")

а так как согласно формуле (11.23')

ссгдф,

где с — сцепление грунта, определяемое как начальный параметр огибающей кругов предельных напряжений, то уравнение (11.25") может быть представлено в виде 1

01 — о%

С05 ф

С1 + 02 *ёф-о- = С.

(11.25'")

Последняя формула широко используется в задачах теории пре­дельного равновесия.

Условие предельного равновесия в составляющих напряжениях сг, оу, х для связных грунтов имеет следующий вид:

(Ох — Оу) 2 + 4туг (аг + ау-г-2сс1§ф)

- = 5Ш2ф.

(11.25^)

Отметим, что круг предельных напряжений дает возможность определить направления площадок скольжения для любой задан­ной точки.

Если соединить точку касания предельной прямой ОЕ (рис. 64, в) с концом отрезка, изображающего в масштабе о2 (точка А), то направление ЕА определит направление площадки скольжения. По рис. 64, 8

/_ВСЕ = 2|3 = 90° + ф,

откуда

= 45° + ф/2.

Таким образом, в условиях предельного равновесия площадки скольжения будут наклонены под углом ±(45° + ф/2) к направле­нию площадки наибольшего главного напряжения, или, что то же самое, под углом ± (45°—ф/2) к направлению главного напряже­ния 0\.

Дифференциальные уравнения равновесия грунтов в предельно-напряженном состоянии. Плоская задача. В общем случае напряженного состояния для условий плоской задачи дифференци­альные уравнения равновесия для любых линейно деформируемых тел при горизонтальной ограничивающей полупространство плос­кости (направление оси У,— горизонтально, оси 2 — вертикально), как известно из теории упругости, записываются в следующем виде:

0;

(а!)

(ая)

где ог>У> 1уг составляющие напряжении;

у — объемный вес грунта.

В этих двух дифференциальных уравнениях три неизвестных (ог, оу и хуг); таким образом, задача является (без добавочных усло­вий) статически неопределимой. Если же добавить к этим двум уравнениям третье, например, (П.251У), то получим замкнутую систему трех уравнений с тремя неизвестными, но для предельного на­пряженного состояния, так как уравнение (П.251У) является усло­вием предельного равновесия:

(Ог — ау)2 + 4т.

1/2

(ог + Оу + 2сС1§ф)2

= 51П2 ф.

(аз)

Таким образом, задача в общей постановке статически опреде­лима.

Решение дифференциаль­ных уравнений равновесия (а1) и (аг) совместно с усло­вием предельного равнове­сия (аз) в дальнейшем полу­чено (проф. В. В. Соколов­ским, 1942 г.) как системы уравнений гиперболического типа.

Пространственная задача имеет замкнутую систему уравнений (статиче­ски определимую) только для случая осевой симмет­рии.

Для осесимметричной за­дачи, воспользовавшись ци­линдрической системой ко­ординат (г, т>) и приняв обо­значения составляющих на­пряжений по рис. 65, имеем следующую систему уравне­ний равновесия:

Рис. 65. Схема пространственной

напряжении в случае осесимметричной за­дачи

дог

1/7 +

дог

дг

~дг'

дхг

От — 0>

= 0;

Хгг

дг

(61)

(62)

Условие предельного равновесия в цилиндрической системе ко­ординат запишется так:

(Ог— Сг)2"}- 4тгг

{ог + о2 + 2с с1§уУ

= ЗШ^ф.

(бз)

Кроме того, вследствие симметрии касательные напряжения по меридиональным плоскостям равны нулю, поэтому напряжение яв­ляется главным и, кроме того, для осесимметричной задачи

00 = 02 == 03- (64)

Уравнение (б4) и является добавочным к системе уравнений (61) — (б3) и делает ее статически определимой. Приведенная систе­ма уравнений предельного равновесия (61) — (б4) для осесимметрич­ной задачи (сформулированная проф. В. Г. Березанцевым, 1952 г.) соответствует случаю деформаций грунта от оси симметрии 02. Не­которые важные случаи решения этой задачи приведены ниже.

Рис. 66. Схема действия полосообразной нг грузки