Распределение напряжений в случае плоской задачи

Условия плоской задачи будут иметь место тогда, когда напря­жения распределяются в одной плоскости, в направлении же пер­пендикулярном они или будут равны нулю, или постоянны. Это ус­ловие имеет место для очень вытянутых в плане сооружений, например ленточных и стеновых фундаментов, оснований подпорных стенок, насыпей, дамб и подобных сооружений. Для этих сооруже­ний в любом месте, за исключением лишь краевых участков от края по длине (примерно 2—3 ширины сооружения), распределение на­пряжений в любом прове­денном сечении будет та­ким же, как и в других соседних, при условии, что в направлении, пер­пендикулярном рассмат­риваемой плоскости, на­грузка не меняется.

Определение напряже­ний в условиях плоской задачи значительно упро­щается и во многих слу­чаях может быть пред­ставлено в удобной фор­ме.

Рис. 47. Схема действия равномерно распределенной нагрузки

в условиях плоской задачи

Следует также отме­тить весьма важное свой­ство плоской задачи, за­ключающейся в том, что все составляющие напряжений ог, оу и % в рассматриваемой плоско­сти 20 У не зависят от деформационных характеристик линейно де­формируемого полупространства (модуля общей деформации и коэффициента поперечной деформации), т. е. будут справедливы для всех тел (сплошных, сыпучих и т. п.), для которых зависимость между напряжениями и деформациями может быть принята ли­нейной.

Плоская задача определения напряжений для линейно деформи­руемых тел в настоящее время детально разработана в трудах Прандтля, Митчела, Г. В. Колосова, Н. П. Пузыревского, Н. М. Гер-севанова и др. Мы здесь ограничимся приведением только наиболее часто применяемых на практике решений. Эти решения получены следующим методом.

Используя формулы для напряжений в линейно деформируемом массиве от погонной нагрузки (Фламана) в условиях плоской за­дачи путем интегрирования напряжений от действия элементарных сил (рйу-\), получают выражения для составляющих напряжений а2, оу, х для различных видов распределенных нагрузок: равномер­ной, возрастающей по закону прямой и др.

Действие равномерно распределенной нагрузки. Схема действия равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи показана на рис. 47. Если обозначить буквой а угол видимости, ос

р = — + р' (где р" — угол, составляемый крайним лучом с верти­калью), то для составляющих напряжений будут справедливы сле­дующие выражения:

Ох

Л

р

(а + 51П асоз 2р);

оу — —(а — 51П а сое 26);

т = —(зта51п2р).

(111.11)

Приведенные выражения позволяют легко составить таблицу коэффициентов влияния для вычисления составляющих напряже­ний, введя следующие обозначения:

Ох --- КтР;

Т = КухР.

(111.11')

Рис. 48. Эпюры распределения сжимающих напряжений <тг по

верти­кальным (а) и горизонтальным (б) сечениям массива грунта

Величины коэффициентов влияния Кг, Ку, Ку? приведены в табл. 12 в зависимости от величины относительных координат г/Ь и у/Ь.

Пользуясь данными табл. 12, легко построить эпюры распреде­ления напряжений по горизонтальным и вертикальным сечениям массива грунта в случае плоской задачи (при полосообразной рав­номерно распределенной нагрузке).

Как пример на рис. 48 показаны эпюры сжимающих напряже­ний аг для вертикальных и горизонтальных сечений массива грунта.

Пользуясь полученными эпюрами напряжений, легко построить и кривые равных напряжений. Так, на рис. 49, а приведены линии оди­наковых вертикальных сжимающих напряжений или давлений {изобары), на рис. 49, б — линии одинаковых горизонтальных на­пряжений (распоры) и на рис. 49, в — линии одинаковых касатель­ных напряжений (сдвиги), наглядно характеризующие вею напряженную область грунта под полосообразной нагрузкой.

Интересно отметить, что если ограничиться рассмотрением дав­лений, больших 0,1 р, то влияние сжимающих напряжений сказыва­ется в случае плоской задачи на большую глубину (примерно до 6Ь), чем в случае пространственной задачи (например, для квад­ратной площади загрузки — до 4 Ь).

Рис. 49. Линии равных напряжений в линейно деформируемом мас­сиве в случае плоской задачи:

а — изобары ог; б — распоры Оу; в — сдвиги X гх

Область распределения распоров выдвигается в стороны более чем на ширину площади подошвы ленточного фундамента, а макси мальные сдвигающие напряжения (до 0,32 р) имеют место под краями подошвы полосообразной нагрузки; по оси же нагрузки сдвигающие напряжения равны нулю. Для главных напряжений 01 и 02 и для максимальных сдвигающих тШах=(01—0г)/2 линии одинаковых напряжений представляют окружности, проходящие че­рез краевые точки подошвы полосообразной нагрузки.

Главные напряжения, т. е. наибольшие и наименьшие нормаль­ные напряжения, будут для площадок, расположенных по верти­кальной оси симметрии нагрузки-. Действительно, для таких площа­док угол р'=—а/2 и, следовательно, угол р = а/2 — а/2 = 0.

Таблица 12

Значения коэффициентов влияния /\,, Л'„ и А"у.. для определения составляющих напряжений в случае действия равномерно

распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

Примечание. Величина коэффициентов К, — Кп для относительных глубин (2г/Ь) приведена также в табл. 9 (при а&10).

Тогда согласно третьей строке формулы (111.11) сдвигающее напряжение будет равно т = 0, т. е. площадки будут главными.

Можно показать, что главными площадками будут также пло­щадки, расположенные по биссектрисам углов видимости и пло­щадкам, им перпендикулярным.

Величину главных напряжений получим из выражений (111.11), полагая в них р = 0:

01 = — (а + 51П а);

р

02 = —(а — 81П а). я

(111.12)

Формулы (111.12) весьма часто применяются при оценке напря­женного состояния в основаниях сооружений, особенно предельного.

Они дают также возможность построить эллипсы напряжений для различных точек напряженного линейно деформируемого полу­пространства (рис. 50), наглядно иллюстрирующих изменение на­пряжений в грунте под полосообразной нагрузкой.

Рис. 50. Эллипсы напряжений при действии равномерно

распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

Треугольная нагрузка. При определении напряжений в грунтах от действия неравномерной нагрузки важным составным элементом является треугольная нагрузка, т. е. нагрузка, интенсивность кото­рой меняется по закону треугольника.

Приведем здесь только формулу (ее наиболее простой вид) для величины сжимающих вертикальных напряжений ог, действующих на горизонтальные площадки, параллельные ограничивающей плос­кости:

*==0^а-зш2г]: (111.13)

где а и — углы, показанные на рис. 51, а, рад.

На рис. 51, б, в для иллюстрации приведены зпюры распределе­ния сжимающих напряжений ог по горизонтальным и вертикальным сечениям линейно деформируемого массива от действия треугольной нагрузки в долях от ее максимальной интенсивности, а в табл. 13 — значения а2 в зависимости от г/Ь и у/Ь (рис. 51, а).

5 6 о

Рис. 51. Эпюры распределения сжимающих напряжений по верти­кальным и горизонтальным сечениям массива грунта при дейст­вии треугольной нагрузки

Следует отметить, что максимальные сжимающие напряжения будут в вертикальном сечении, проходящем близко к центру тяже­сти треугольной нагрузки.

Действие любой нагрузки, меняющейся по закону прямой. Важ­ными случаями действия полосообразной нагрузки будут также нагрузка, меняющаяся по прямоугольному и равностороннему тре­угольникам, трапецеидальная и т. п., т. е. изменяющиеся по закону-прямой. Формулы для вычисления напряжений для этих случаев нагрузки приведены в ряде руководств и справочников по меха­нике грунтов*. Здесь мы остановимся лишь на применении универсального для рассматриваемого вида нагрузок графика Остерберга, опубликованного в трудах IV Международного конгресса по меха­нике грунтов.

Величина сжимающих напряжений при треугольной нагрузке в долях от р

Сжимающие напряжения в массиве грунта при нагрузке, меняю­щейся по закону прямой, вычисляются по формуле

Ох = 1р,

где 1 = 1(а/г, Ь/г)—функция относительных величин (а/г и Ь/г), определяемая по графику (рис. 52) (а и Ь — длина соответственно треугольной и прямоугольной эпюр нагрузки; г-—глубина рассмат­риваемой точки).

Величина / определяется как алгебраическая сумма коэффици­ентов, соответствующих нагрузке слева и справа от вертикали, проходящей через рассматриваемую точку.

Поясним сказанное примерами.

Пример 4. Определим напряжение для точки М] (рис. 53, а). При нагруз­ке, действующей слева,

По графику (см. рис. 52) /л =0,397. При нагрузке, действующей справа,

а 2 Ь2 3

— = — = 1 и -Н.-—= 1,5; /п = 0,478. г 2 г 2

Таким образом,

"2, = (/* + 7н) Р

или, подставляя численные значения, получим

ог1 = (0,397 + 0,478) р = 0,875/7.

Для определения сжимающего напряжения ог2 в точке Мг (см. рис. 53, а) прикладываем фиктивную нагрузку к1тп. При полной нагрузке (включая фик­тивную)

а Ь' 8

— = 1 „ — = — = 4; /„ = 0,499. г г 2

При фиктивной нагрузке

а Ь"

— = 1 и — = 1; /п = 0,455. г г

Подставляя численные значения и учитывая фиктивность нагрузки к1тп, получим

агг (/„ — /„) Р~ (0,499 — 0,455) /7 = 0,044/?, Для случая прямоугольной нагрузки (рис. 53, б)

ст23 = (/л + /п)/>-

Определив /л при а/г = 0 и Ь/г =0,5 и /п при а/г = 0 и Ь/г — 1, получим

агз = (0,278 + 0,410) /7 = 0,688р.

Произвольный вид нагрузки. При произвольном виде сплошной полосообразной нагрузки эпюру внешних давлений разбивают на прямоугольные и треугольные элементы, например, как показано на рис. 54, а, и путем суммирования напряжений от прямоугольных и треугольных элементов эпюры давлений определяют величину сжи­мающего напряжения в заданной точке грунтового массива.

Рис. 54. Схема действия неравномерной нагрузки в случае плоской

задачи:

а разбивка криволинейной эпюры давлений на элементы; б — распределение сжимающих напряжений при действии внешней нагрузки по трапецеидальной

эпюре

Как пример на рис. 54, б приведены эпюры распределения сжи­мающих напряжений сг2 в грунте на глубине 2=0,5 6 и г=1,0Ь, вычисленные по изложенному способу для случая действия на по­верхность грунта давлений, распределенных по трапецеидальной эпюре.

Изложенный способ применим при любом виде эпюры внешних давлений.

§ 3. распределение давлений по подошве сооружений, опирающихся на грунт (контактная задача)

Вопрос о распределении давлений по подошве сооружений име­ет большое практическое значение, особенно для гибких фундамен­тов, рассчитываемых на изгиб.

Если известно реактивное давление по подошве фундамента, которое обычно называют контактным, то, приложив к подошве

фундаментной балки его обрат­ную величину, без особого труда находят величину расчетных изги­бающих моментов и перерезыва­ющих сил, применяя обычные уравнения статики.

В предыдущем разделе рас­сматривалось действие на грунт распределенной нагрузки, кото­рая следовала деформациям по­верхности грунта, т. е. нагрузки, передающейся на грунт при по­средстве нежесткого тела, напри­мер грунтовой насыпи и т. п. Од­нако большинство фундаментов сооружений обладает определенной жесткостью. Поэтому важно оценить, как жесткость фундамента сказывается на распределении контактных давлений и давлений в массиве грунта.

Исходным уравнением для решения поставленной задачи явля­ется формула Буссинеска (Ш.З) для вертикальной деформации линейно деформируемого полупространства от действия сосредо­точенной силы:

Р пСаР

Для произвольной площади нагрузки, приняв обозначения по рис. 55, будем иметь

1 Г" г* р{1,тС)й1йг\

Рис. 55. Схема площади загрузки произвольного вида

где Р — площадь загрузки, по которой должно быть произведено интегрирование.

Если фундамент абсолютно жесткий, то все точки его площади подошвы будут иметь при центральной нагрузке лишь одну и ту же вертикальную деформацию.

Таким образом, условие абсолютной жесткости фундамента дает в этом случае

фг = СОП51

ИЛИ

щ = -1- С Г_Р<ШВ*>-= СОП51. (Ш.15)

яСо 7 1/(х-Е)2 + (г/-л)2

Решение этого интегрального уравнения для круглой площади подошвы при центральной нагрузке абсолютно жесткого фундамен­та имеет следующий вид:

рху =--, (Ш.16)

где г — радиус подошвы фундамента;

р — расстояние от центра подошвы до любой ее точки (р^О;

рт — среднее давление на единицу площади подошвы.

Для случая плоской задачи

^Рт /тп 1 с/\

рхУ =- —, (Ш.16')

где у— расстояние по горизонтали от середины фундамента до - рассматриваемой точки;

Ь\ — полуширина фундамента. При внецентренной нагрузке Р в случае плоской задачи (по В. А. Гастеву)

Р ^ 2ей 2цЬ, \

рху =--У1 + —+4, (Ш.16")

яУ62-г/2 Ь\ Р

где е — эксцентриситет сосредоточенной (погонной) силы Р;

ц — интенсивность боковой пригрузки.

Если начертить эпюру распределения контактных давлений (рис. 56, а), то для абсолютно жесткого фундамента на линейно де­формируемом полупространстве будем иметь седлообразную эпюру с бесконечно большими давлениями по краям.

Действительно, при р = г и при у = Ъ\ рху = <х>. По центральной же оси симметрии фундамента при круглой площади подошвы

Рт „ 9

ро = —— и при ленточной р0 — —рт.

2 я

Однако, как показывают решения, выполненные с учетом ползу­чести скелета грунта (Н. X. Арутюняном) и одновременно с возрастанием по глубине модуля общей деформации |(Ю. К. Зарецким), контактные давления по подошве жесткого фундамента будут рас­пределяться по значительно более пологой кривой и, кроме того, у края фундамента они не могут быть больше предела несущей спо­собности грунта, что также обусловливает перераспределение дав­лений по подошве (рис. 56, а, пунктирная линия).

Рис. 56. Эпюры контактных давлений:

а — под абсолютно жестким фундаментом; б — под фундаментами различной гибкости

Концентрация давлений у края жестких фундаментов сказыва­ется на распределении напряжений в массиве грунта лишь на не­большую глубину от подошвы, и общая луковица напряжений мало изменяется, вследствие чего общая осадка фундаментов мало зависит от их жесткости, хотя осадка абсолютно жестких фундаментов, как то вытекает из соответствующих решений (см. гл. V), несколь­ко меньше, чем гибких.

Так, на рис. 57 по вычислениям Института оснований построены изобары для абсолютно жесткого фундамента и для абсолютно гиб­кого, которые подтверждают высказанное выше положение.

­

Рис. 57. Изобары в грунте под фундаментами: а — абсолютно жестким; б — гибким

Для подошвы фундаментов эпюра контактных давлений по ре­шениям, излагаемым в курсе сопротивления материалов, будет пря­молинейной — равномерной или трапецеидальной, тогда как по строгому решению теории упругости для абсолютно жестких фунда­ментов она всегда будет седлообразной; для фундаментов же конеч­ной жесткости — может принимать очертание от седлообразного до параболического (см. рис. 56, б).

Для определения контактных давлений в последнем случае ин­тегральное уравнение (111.14) решают совместно с дифференциаль­ным уравнением изгиба балок. В результате оказывается, что рас­пределение контактных давлений в высокой степени зависит от гибкости фундамента Г, которая (по М. И. Горбунову-Посадову) определяется выражением

4(1-р0)2^1/1 * Е,к\ '

где Е0, р0 — модули деформируемости грунта основания;

Е^1 —- жесткость фундаментной балки; / — полудлина балки;

Н\ — высота прямоугольной фундаментной балки.

На рис. 56, б приведено три кривых распределения контактных давлений в зависимости от гибкости фундаментной балки: при Г = 0 (абсолютно жесткой), при Г= 1 и Г = 5.

Следует отметить, что распределение контактных давлений по подошве фундаментов зависит не только от гибкости фундаментов, но и от глубины их заложения, величины внешней нагрузки, обу­словливающей развитие пластических деформаций в грунте, а сле­довательно, и от прочностных свойств грунта.

В заключение укажем, что материалы, изложенные в настоящем разделе, могут служить основой при разработке методов проектиро­вания и расчета фундаментных балок и плит, лежащих на сжимае­мом линейно деформируемом полупространстве.

Влияние неоднородности и анизотропии на распределение на­пряжений в грунтах. Существенное влияние на напряженное состо­яние грунтов основания имеет не только жесткость фундаментов, но и неоднородность и анизотропность грунтов под фундаментом, рез­кое изменение модуля деформируемости отдельных слоев грунта и особенно близкое залегание несжимаемых скальных пород. Для со­оружений, занимающих большую площадь в плане, когда мощность сжимаемой толщи (до скальной породы) будет порядка ширины за­груженной площади или меньше ее, влияние несжимаемой породы существенно сказывается как на распределении напряжений по глубине, так и на величине и распределении контактных давлений.

Распределение сжимающих напряжений в слое грунта ограни­ченной толщины на несжимаемом основании в случае гибкой поло­сообразной равномерно распределенной нагрузки было получено (на основе задачи Маргера и Шехтер) в Институте оснований (К. Е. Егоров, 1939 г.); результаты вычислений сведены в табл. 14.

Таблица 14