Уравнения кинематики манипулятора

Рисунок 6.1. Система координат схватa

Однородная матрица , определяющая положение i-й системы координат относительно базовой системы координат, представляет собой произведение последовательности однородных матриц преобразования ^i-1A_i и имеет вид:

⁰T_i= ⁰A_i ¹A_i …^i-1A_i= = = для i=1, 2, …, n,

где - матрица, определяющая ориентацию i-й системы координат, связанной с i-м звеном, по отношению к базовой системе координат. Это верхняя левая подматрица , имеющая размерность 3×3.

р_i- вектор, соединяющий начало базовой системы координат с началом i-й системы координат. Это верхняя правая подматрица матрицы , имеющая размерность 3×1. В частности, при i=6 мы получаем матрицу , которая задает положение и ориентацию схвата манипулятора относительно базовой системы координат. Эта матрица часто используется при описании кинематики манипулятора. Ее называют «матрицей манипулятора».

Положим, что матрица Т имеет следующий вид:

T= = = = ,

где n – вектор нормали к схвату. В случае плоскопараллельного движения пальцев этот вектор перпендикулярен пальцам манипулятора;

s – касательный вектор схвата. Он лежит в плоскости движения пальцев и указывает направление движения пальцев во время открытия или закрытия схвата;

a - вектор подхода схвата. Он направлен по нормали к ладони схвата, (т.е. перпендикулярно плоскости крепления инструмента в схвате);

p - вектор положения схвата. Этот вектор направлен из начала базовой системы координат к началу системы координат схвата, которое, как правило, расположено в точке, являющейся геометрическим центром полностью сжатых пальцев.

Если положение манипулятора в абсолютном пространстве определяется матрицей B, а в схвате манипулятора зафиксирован инструмент, положение которого в системе координат схвата определяется матрицей H, то положение рабочего узла инструмента относительно абсолютной системы координат дается произведением матриц В, ⁰Т₀ и Н, т.е.:

. (6-1)

При этом H ≡ , B ≡ .

Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного манипулятора является вычислением T=⁰A₆ с помощью последовательного перемножения шести матриц ^i-1A_i. Решение этой задачи приводит к единственной матрице Тпри заданных и фиксированных системах координат, где для вращательного сочленения и для поступательного сочленения. Ограничения определяются только физическими пределами изменения для каждого сочленения манипулятора.

Матрица T манипулятора Пума имеет вид:

T = ⁰A₁¹A₂²A₃³A₄⁴A₅⁵A₆= , (6-2)

где ;

; ; (6-3) ;

;

; (6-4)

;

;

; (6-5)

;

;

. (6-6)

Например, при имеем

T= ,

что согласуется с выбором системы координат на рис. 5.4.

Из равенств (6-3) – (6-6) видно, что вычисление матрицы манипулятора Т требует обращения к программам вычисления 12 трансцендентных функций, выполнения 40 умножений и 20 сложений в том случае, если производится только вычисление правой подматрицы Т, имеющей размерность 3×3, а вектор n определяется как векторное произведение векторов s и a(n=s×a). Еслиобъединить d₆ с длиной рабочего инструмента, то d₆=0, а длина инструмента увеличивается на d₆ единиц. Это сокращает объем вычислений до 12 бращений и программ вычисления трансцендентных функций, 35 операций умножения и 16 операций сложения.