Примеры решения задач. 5.2.1 Четырехполюсник, схема соединения элементов которого приведена на рис
5.2.1 Четырехполюсник, схема соединения элементов которого приведена на рис. 5.13, имеет параметры R=XL=10 Ом, ХС=20 Ом.
Определить коэффициенты А-формы записи уравнений четырехполюсника и убедиться, что результаты удовлетворяют соотношению AD-BC=1.
Расчет коэффициентов выполнить с помощью законов Кирхгофа и по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.
Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:
1) Составим уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы.
Согласно первому закону Кирхгофа: .
По второму закону Кирхгофа составим уравнения для внешнего и правого контуров схемы:
;
.
Из второго уравнения выразим ток:
,
и подставим полученное выражение в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа:
.
Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным для тока, можно определить коэффициенты и
Для определения коэффициентов А и В подставим выражение, полученное для тока в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:
Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно напряжения, найдем коэффициенты:
Проверим выполнение соотношения между коэффициентами А-формы записи уравнений четырехполюсника:
AD – BC = (1 – j1)(–1) – (–10 – j20)(–j0,1) = –1 + j1 – j1+ 2 = 1,
что и требовалось доказать.
2) Рассчитаем коэффициенты по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом включении четырехполюсника (рис.2.14, а, б):
,
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном включении четырехполюсника (рис. 5.15, а, б):
По известным формулам рассчитаем значения коэффициентов:
B=A Z2K=(1-j1)·(5-j15)=5-j5-j15-15= (-10-j20) Ом;
Результаты расчетов соответствуют значениям коэффициентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.
5.2.2Четырехполюсник, схема которого приведена на рис. 5.16, имеет параметры:
R = XL = 10 Ом, ХС = 20 Ом. Определить коэффициенты А-формы записи уравнений четырехполюсника и убедиться, что результаты удовлетворяют соотношению AD – BC = 1.
Расчет коэффициентов выполнить с помощью законов Кирхгофа и по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.
Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:
1) Составим уравнения по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы.
По первому закону Кирхгофа составим два уравнения
и
По второму закону Кирхгофа составим уравнение для внешнего контура схемы:
Так как напряжение на зажимах четвертой ветви рано входному напряжению четырехполюсника, а напряжение на пятой ветви равно – выходному, то по закону Ома можно выразить токи в ветвях:
и .
Выразим значение тока третьей ветви через выходные режимные параметры четырехполюсника, подставив выражение для тока в уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа . Полученное выражение подставим в уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа:
.
Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно напряжения, найдем коэффициенты:
Можно записать, подставив одно в другое уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа .
Подставим в полученное уравнение значения токов четвертой и пятой ветвей и уже известное выражение для входного напряжения:
Сравнив полученное выражение с уравнением четырехполюсника, составленным относительно входного тока, найдем коэффициенты:
Проверим выполнение соотношения между коэффициентами А-формы записи уравнений четырехполюсника:
AD-BC=(1+j0,5)·(1-j1)-10·(0,05-j0,05)=1-j1+j0,5+0,5-0,5+j0,5=1.
2) Рассчитаем коэффициенты по входным сопротивлениям в режиме холостого хода и короткого замыкания.
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом включении четырехполюсника (рис. 5.17, а и б).
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном включении четырехполюсника (рис. 5.18, а и б).
По известным формулам рассчитаем значения коэффициентов уравнений А-формы записи:
B = A Z2K = (1 + j0,5)·(8 – j4) = 8 + j4 – j4 + 2 = 10 Ом;
Результаты расчетов соответствуют значениям коэффициентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.
5.2.3 Несимметричный четырехполюсник имеет параметры А = 1; В = 2,83еj45° Ом; С = j0,5 См; D = j1. Найти характеристические сопротивления четырехполюсника и постоянную передачи.
Найдем характеристические сопротивления:
Отрицательные значения комплексного сопротивления не имеют физического смысла, так как они не реализуемы.
Определим постоянную передачи:
где коэффициент затухания , а коэффициент фазы или
5.2.4 Для четырехполюсника, эквивалентная схема которого приведена на рис. 5.19, составить уравнения, выражающие зависимость комплексных напряжения входной ветви и тока выходной ветви от комплексных тока входной ветви и напряжения выходной ветви.
Параметры элементов цепи: Z0=12 Ом, Z2=6 Ом, Z1=(4+j3) Ом.
Искомую зависимость выражают уравнения четырехполюсника Н-типа:
Коэффициенты Н11, Н12, Н21 и Н22 можно определить на основе рассмотрения исходной схемы сначала при разомкнутых первичных зажимах, а затем при короткозамкнутых вторичных полюсах с одновременным анализом уравнений Н-формы записи, соответствующим этим состояниям.
При разомкнутых первичных зажимах = 0 и система уравнений примет вид:
откуда запишем
Для рассматриваемого режима:
, ,
и тогда можно определить коэффициенты:
При короткозамкнутых вторичных полюсах =0 система уравнений примет вид:
откуда запишем
Для рассматриваемого режима:
, .
Тогда можно определить коэффициенты:
5.2.5 Выразить Z параметры взаимного четырехполюсника через сопротивления его Т-схемы замещения (рис. 5.20).
Система уравнений четырехполюсника в Z-форме записи имеет вид:
Запишем уравнения по законам Кирхгофа, связывающие напряжения четырехполюсника с входным и выходным токами, одновременно проводя анализ уравнений z-формы:
где – ток в поперечной ветви;
Сравнив выражение, полученное для входного напряжения четырехполюсника с первым уравнением Z- формы, можно определить коэффициенты:
Относительно выходного напряжения запишем:
Сравнив полученное уравнение со вторым уравнением системы уравнений в z-форме, определим коэффициенты:
Из полученных значений видно, что для взаимного четырехполюсника равны коэффициенты
5.2.6 При питании четырехполюсника со стороны первичных зажимов были измерены U1, I1, P1 в двух режимах:
а) холостого хода U1X = 100 B; I1X = 1 A; P1X = 0; б) в режиме короткого замыкания U1К = 100 B; I1К = 1,41 A; P1К = 100 Вт. В обоих случаях характер сопротивлений емкостный.
При обратном включении четырехполюсника при закороченных первичных зажимах были измерены U2К = 100 B; I2К = 1 A; P2К = 100 Вт. Известно, что Z1K/Z2K = Z1X/Z2X. Рассчитать сопротивления прямого, обратного холостого хода и короткого замыкания. Определить по ним Z-параметры четырехполюсника.
При прямом включении четырехполюсника входные сопротивления для режимов холостого хода и короткого замыкания по показаниям измерительных приборов определяются:
,
где так как, согласно исходным данным, нагрузка носит чисто емкостный характер (Р1Х=0);
,
где ,
так как известно, что характер сопротивлений емкостный.
,
где .
Сопротивление Z2K найдем из соотношения Z1K/Z2K = Z1X/Z2X:
Уравнения четырехполюсника в Z-форме записи имеют вид:
Для режима холостого хода при прямом = 0 и обратном = 0 включении четырехполюсника запишем:
тогда
тогда
Для режима короткого замыкания на вторичных зажимах четырехполюсника ( ) запишем:
Выразим из второго уравнения ток на выходе четырехполюсника, и подставим полученное выражение в первое уравнение:
, тогда .
Сопротивление короткого замыкания со стороны первичных зажимов:
.
Отсюда рассчитаем коэффициенты:
5.2.7 Для симметричного четырехполюсника, работающего в режиме холостого хода, на рис. 5.21 задана векторная диаграмма токов и напряжений. Определить А-параметры четырехполюсника. Действующие значения тока и напряжений: U1Х = 100 В; U2Х = 200 В; I1Х = 2,5 А.
Запишем уравнения четырехполюсника А-формы для режима холостого хода ( ):
Действующие значения тока и напряжений на зажимах четырехполюсника в режиме холостого хода заданы, а их начальные фазы можно определить по векторной диаграмме. Тогда уравнения четырехполюсника запишутся, как
Отсюда коэффициенты А = 0,5, С = –j0,0125 1/Ом.
Для симметричного четырехполюсника D = A = 0,5.
Из соотношения, связывающего коэффициенты А-формы AD – BC = 1 определим коэффициент В:
5.2.8 Для ослабления сигнала в нагрузке между нагрузкой и источником питания включен симметричный четырехполюсник. Вычислить параметры Т-схемы замещения, если он нагружен на согласованное сопротивление ZH = ZC = 200 Ом, а сигнал нужно ослабить на 0,5 Нп без его задержки во времени.
Параметры Т-схемы замещения легко получить через значения коэффициентов А-формы записи уравнений:
тогда
Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:
A = D, так как четырехполюсник симметричный;
е(a+jb) = =e0,5, так как сигнал передается без задержки во времени, то коэффициент фазы b = 0; A2 – BC = 1.
Составим систему уравнений с тремя неизвестными коэффициентами:
Решаем систему уравнений и находим коэффициенты:
А = 1,128; C = 0,0026 1/Ом; B = 10,2 Ом.
По рассчитанным значениям коэффициентов определим параметры симметричной Т-схемы замещения:
Как видно по значениям полученных комплексных сопротивлений схема рассматриваемого четырехполюсника реализована на активных сопротивлениях.
5.2.9 Определить параметры П-схемы замещения симметричного четырехполюсника, нагруженного на характеристическое сопротивление ZH = ZC = 500 Ом, с помощью которого осуществляется задержка синусоидального сигнала на четверть периода без его ослабления.
Параметры П-схемы замещения легко получить через значения коэффициентов А-формы записи уравнений:
откуда
Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:
A = D, так как четырехполюсник симметричный;
е(a+jb) = =ej90°, так как сигнал передается без ослабления, то коэффициент затухания a = 0; так как задержка во времени составляет четверть периода, то коэффициент фазы b=90°; A2 – BC = 1.
Составим систему уравнений:
Решив эту систему уравнений найдем значения коэффициентов А = 0; В = j500 Ом; С = j0,002 1/Ом.
По рассчитанным значениям коэффициентов определим параметры симметричной П-схемы замещения:
Как видно по значениям полученных комплексных сопротивлений схема рассматриваемого четырехполюсника реализована полностью на чисто реактивных элементах. В последовательной ветви включена идеальная индуктивная катушка, а в продольных ветвях конденсаторы.
5.2.10Определить параметры полосового фильтра, имеющего Т-образную схему (рис. 5.22), нагруженного на характеристическое сопротивление при резонансной частоте. Нижняя граница полосы пропускания f1 = 750 Гц, верхняя граница полосы пропускания f2 = 850 Гц.
Резонансная частота Гц.
Параметры Т-образной схемы:
Дата добавления: 2016-05-25; просмотров: 11688;