Уравнение регрессии с фиктивными переменными для временного ряда потребления электроэнергии

Проанализируем эти результаты. Влияние сезонной компоненты в каждом квартале статистически значимо (фактические значения т-критерия по модулю больше 2 для параметров при переменных х1, х2, х3 и константа а). Параметр а =8,33 есть сумма начального уровня ряда и сезонной компоненты в 4-ом квартале.

Сезонные колебания в I, II, III кварталах приводят к снижению этой величины, о чем свидетельствуют отрицательные оценки параметров при переменных х1, х2, х3. Отметим, что эти параметры не равны значениям сезонной компоненты, поскольку они характеризуют не сезонного изменения от уровней, учитывающих сезонные воздействия в 4-ом квартале. Положительная величина параметра b =0.19 при переменной времени свидетельствует о наличии возрастающей тенденции в уровнях ряда. Его абсолютное значение говорит о том, что средний за квартал абсолютный прирост объема потребления электроэнергии составляет 0,19 млн кВт.ч, или 190 тыс. кВт.ч. Поскольку фактическое значение т-критерия Стьюдента равно 11.1, можно утверждать, что существование в уровнях ряда тенденции установлено надежно.

Коэффициент детерминации в данной модели R² = 0.985. Общая сумма квадратов уровней ряда Yt составляет:

Определим остаточную сумму квадратов.

Остаточная сумма квадратов по аддитивной модели (сумма квадратов абсолютных ошибок) была рассчитана ранее (табл.5.10) и составляет 1.1. Следовательно, модель регрессии с фиктивными переменными описывает динамику временного ряда потребления электроэнергии лучше, чем аддитивная модель.

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний – наличие большого количества переменных. Если, пример, строить модели для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, таким образом такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии.

Особенности изучения взаимосвязанных временных рядов. Автокорреляция рядов динамики и методы ее устранения. Метод последовательных разностей. Интерпретация параметров уравнения регрессии, построенного оп первым и вторым разностям. Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции. Метод включения фактора времени.

От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временного ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени t, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 5.8.

Рис 5.8. Изменение характера тенденции временного ряда

* Интерпретация параметров уравнения регрессии, построенного по первым и вторым разностям. Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции. Метод включения фактора времени.

Момент (период) времени t^* сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель у_t. Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и другие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t^* и после момента t^*) и построить отдельно по каждой совокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 5.8. этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменения не значительно повлияли на характер тенденции ряда y_t, то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 5.8. этому уравнению соответствует прямая (3)).

Каждый из выписанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Таблица 5.17

Условные обозначения для алгоритма теста Чоу

Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов. Графики которых изображены на рис. 5.8 прямыми (1), (2) и (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 5.17.

Выдвинем гипотезу Н_о о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели (С^кл_ост) можно найти как сумму C¹_ост и C²_ост:

C^кл_ост= C¹_ост+ C²_ост. (5.18)

Соответствующее ей число степеней свободы составит:

(n₁ – k₁) + (n₂ – k₂) = (n – k₁ – k₂) (5.19)

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

DC_ост= C³_ост+ C^кл_ост. (5.20)

Число степеней свободы, соответствующее DC_ост, с учетом соотношения (5.19) будет равно:

n – k₃ – (n – k₁ – k₂) = k₁ +k₂ – k₃. (5.21)

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определяется фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы варияции:

(5.22)

Найденное значение F_факт сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимость a и числа степеней свободы ( k₁ +k₂ – k₃) и (n – k₁ – k₂).

Если F_факт > F_табл, то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда следует осуществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если F_факт < F_табл, то нет оснований отклонять ноль-гипотезу о структурной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Отметим следующие особенности применения теста Чоу:

1. Если число параметров во всех уравнениях (1), (2) и (3) (см. рис. 5.8 и табл. 5.17) одинаково и равно k, то формула (5.12) упрощается:

(5.23)

2. Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или остутствии структурной стабильности в изучаемом временном ряде. Если F_факт < F_табл, то означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их параметров а₁ и а₂, а также b₁ и b₂ соответственно статистически не значимы. Если F_факт > F_табл, то гипотеза о структурной стабильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий оценок параметров уравнений (1) и (2).

3. Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпосылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1) и (2) и незначимость их распределений.

Если гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда у_t отклоняется, дальнейший анализ может заключаться в исследовании вопроса о причинах этих структурных различий и более детальном изучении характера изменения тенденции. В принятых нами обозначениях эти причины обуславливают различия оценок параметров уравнений (1) и (2).

Возможны следующие сочетания изменения численных оценок параметров этих уравнений (рис 5.9):

· изменение численной оценки свободного члена уравнения тренда а₂ по сравнению а₁ при условии, что различия между b₁ и b₂ статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) параллельны (рис 5.9 а). В данной ситуации можно говорить о скачкообразном изменения уровней у_t в момент времени t^* при неизменном среднем абсолютном приросте за период;

· изменение численной оценки параметра b₂ по сравнению с b₁ при условии, что различия между а₁ и а₂ статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) пересекают ось ординат в одной точке (рис 5.9 б). В этом случае изменение тенденции связано с изменением среднего абсолютного прироста временного ряда, начиная с момента времени t^*, при неизменном начальном уровне ряда в момент времени t = 0;

· изменение численных оценок параметров а₁ и а₂, а также b₁ и b₂. Геометрически эта ситуация изображена на рис. 5.9 в. Она означает, что изменение характера тенденции сопровождается изменением как начального уровня ряда, так и среднего за период абсолютного прироста.

Рис. 5.9. Изменение тенденции временного ряда при различном сочетании статистической значимости изменений параметров а₁ и а₂; b₁ и b₂;

а - статистически значимым является различие только между а₁ и а₂;

б - статистически значимым является различие только между b₁ и b₂;

в - статистически значимым является различие между а₁ и а₂,

а также между b₁ и b₂;

Один из статистических методов тестирования при применении перечисленных выше ситуации характеристики тенденции изучаемого временного ряда был предложен американским экономистом Дамодаром Гуйарати. Этот метод основан на включении в модель регрессии фиктивной переменной Z_t, которая принимает значения 1 для всех t < t^*, принадлежащие промежутку времени до изменения характера тенденции, далее промежутку (1), и 0 значения для всех t > t^*, принадлежащие промежутку времени после изменения характера тенденции, далее промежутку (2). Д. Гуйарати предполагает определять параметры следующего уравнения регрессии:

(5.24)

Таким образом, для каждого промежутка времени получим следующие уравнения:

Промежуток (1) Z = 1

Промежуток (2) Z = 0

Сопоставив полученные уравнения с уравнениями (1) и (2), нетрудно заметить, что

а₁ = (а + b); b₁ = (c + d); (5.25)

a₂ = a; b₂ = c.

Параметр b есть разница между свободными членами уравнений (1) и (2), а параметр d - разница между параметрами b₁ и b₂ уравнений (1) и (2). Оценка статистической значимости различий а₁ и а₂, а также b₁ и b₂ эквивалентна оценке статистической значимости параметров b и d уравнения (5.24). Эту оценку можно провести при помощи t-критерия Стьюдента.

Таким образом, если в уравнении (5.24) b является статистически значимым, а d – нет, то изменение тенденции вызвано только различиями параметров а₁ и а₂ (рис. 5.9 а). Если в этом уравнении параметр d – статистически значим, а b – незначим, то изменение характера тенденции вызвано различиями параметров b₁ и b₂ (рис. 5.9. б). Наконец, если оба коэффициента b и d являются статистически значимыми, то на изменение характера тенденции повлияли как различия между а₁ и а₂, так и различия между b₁ и b₂ (рис. 5.9.в).

Этот метод можно использовать не только в дополнение к тесту Чоу, но и самостоятельно для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. Основное его преимущество перед тестом Чоу состоит в том, что нужно построить только одно, а не три уравнения тренда.

Мы рассмотрели простейший случай применения теста Чоу для моделирования линейной тенденции. Однако этот тест (а также модель (5.24) с фиктивной переменной) может использовать (и действительно используется во многих прикладных исследованиях) при проверке гипотез о структурной стабильности и в более сложных моделях взаимосвязи двух и более временных рядов.