ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЙ СОБЫТИЯ.
Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того что событие А появится в этих п испытаниях т раз, выражается формулой Бернулли
где q = 1 – р. Таким образом,
…,
Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях, если значение Рm,п при m = т0 не меньше остальных значений Рт,n, т. е. при mi ¹ т0.
Если р ¹ 0 и р ¹ 1, то число т0 можно определить из двойного неравенства
пр – q £ т0 £ пр + р.
Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если пр + р не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение т0. Если же пр + р – целое число, то имеются два наивероятнейших значения: и
4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА
Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, ..., Нп (гипотез), образующими полную группу попарно несовместных событий, то событие А можно представить как объединение событий АН1, АН2, ..., АНn, т. е. А = АН1 + АН2 +…+ АНn. Вероятность события А можно определить по формуле
или
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Условная вероятность события Нi; в предположении, что событие А уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:
(i = 1, 2, …, п).
Вероятности Р(Нi/А), вычисленные по формуле Бейеса, часто называют вероятностями гипотез.
5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЁ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Если каждому элементарному событию w из некоторого множества событий W можно поставить, в соответствие определенную величину Х = Х(w) говорят, что задана случайная величина. Случайную величину Х можно рассматривать как функцию события w с областью определения W.
Случайная величина может принять то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать большими буквами Х, Y, …, а принимаемые ими значения – соответствующими строчными буквами х, у, …
Если значения, которые может принимать данная случайная величина Х, образуют дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел х1, х2,…, хn,…, то и сама случайная величина Х называется дискретной.
Если же значения, которые может принимать данная случайная величина X заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, b) числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.
Каждому значению случайной величины дискретного типа хп отвечает определенная вероятность рп; каждому промежутку (а, b) из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определённая вероятность Р(а < Х < b) того, что значение, принятое случайной величиной, попадёт в этот промежуток.
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задаётся рядом распределения:
хi | х1 | х2 | х3 | … | хn |
рi | р1 | р2 | р3 | … | рn |
При этом где суммирование распространяется на всё (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины Х.Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности Вероятность Р(а < Х < b) того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадет в промежуток (а, b), определяется равенством
График функции называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, b) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х = а, х= b.
Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами:
1°.
2°.
(если все значения случайной величины Х заключены в промежутке (а, b), то последнее равенство можно записать в виде ).
Рассмотрим теперь функцию Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины X. Функция существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Если – функция плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины Х, то
Из последнего равенства следует, что
Иногда функцию называют дифференциальной функцией распределения вероятности, а функцию – интегральной функцией распределения вероятности.
Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:
1°. – неубывающая функция.
2°.
3°.
Понятие функции распределения является центральным в теории вероятностей. Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если её интегральная функция распределения непрерывна.
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 547;