аргументу. Число е.

Перша “чудова” границя та її наслідки.

Розглянемо функцію . Вона невизначена при х=0: чисельник і знаменник дорівнюють нулю. Знайдемо границю цієї функції при .

Візьмемо коло одиничного радіуса (рис. 3.1). Його центральний кут МОА позначимо через х , причому . Безпосередньо з рисунка випливає, що

, (4.1)

де , , – площа відповідно трикутників МОА, СОА, і сектора МОА. Знайдемо вказані площі:

,

,

.

Тепер нерівність (4.1) набирає вигляду:

.

Помноживши всі члени останньої нерівності на 2/sinx отримаємо:

або

. (4.2)

Нерівність (4.2) отримано за умови, що x>0, але

і ,

тому вона справедлива й при x<0.

Оскільки

і ,

то з теореми 3.9 випливає, що

. (4.3)

Означення 4.1.Рівність (4.3) будемо називати першою “чудовою” границею.

Наведемо основні наслідки першої “чудової” границі.

Наслідок 4.1.1. , де .

Дійсно,

.

Зробимо заміну αx=z, тоді при і останній вираз дає

Наслідок 4.1.2. .

Дійсно,

Наслідок 4.1.3. .

Дійсно, зробимо заміну , тоді при і . Таким чином,

Наслідок 4.1.4. .

Справедливість цієї рівності доводиться аналогічно попередньому наслідку

2.2. Друга “чудова” границя для дискретного

аргументу. Число е.

Розглянемо змінну величину

, (4.4)

де n набуває цілих додатних значень.

Теорема 4.1. Змінна величина (4.4) при має границю, яка належить проміжку (2; 3).

Доведення. Використаємо для (4.4) формулу бінома Ньютона:

. (4.5)

Зробимо в (4.5) нескладні алгебраїчні перетворення:

. (4.6)

З (4.6) випливає, що змінна величина (4.4) зростає при зростанні n. Справді, при переході від n до n+1 кожний доданок правої частини (4.6) зростає:

і добавляється ще один (n+2)-й доданок. Усі члени розкладу (4.6) додатні.

Покажемо, що змінна величина (4.4) обмежена.

Дійсно,

, , ... ,

тому з (4.6) маємо

. (4.7)

Зауважимо, що

,

тому (4.7) можна записати у вигляді

.

Сума в дужках утворює геометричну прогресію із знаменником q=1/2 і першим членом рівним 1, тому

. (4.8)

Таким чином, з (4.6) і (4.8) отримуємо

. (4.9)

З теоремою 3.12 слідує, що змінна величина (4.4) має границю.

Означення 4.2. Границя змінної величини при називається числом е, тобто

. (4.10)

З (4.9) і теоремою 3.12 маємо 2<e<3. Теорему доведено

Означення 4.3. Границю (4.10) в подальшому будемо називати другою “чудовою” границею.

Наведемо значення числа е з точністю до перших десяти знаків після коми: е=2,7182818284…

4.3. Друга “чудова” границя для неперервного

Аргументу.

Теорема 4.2. Функція прямує до числа е при , тобто

. (4.11)

Доведення. Використаємо рівність (4.10), де n приймає цілі додатні значення. Змінна ж х може приймати як дробові так і від’ємні значення. Розглянемо окремо випадки і .

а) Нехай . Для кожного значення х можна знайти ціле число n таке, що

або .

Зробимо нескладні перетворення останньої нерівності

і

. (4.12)

Очевидно, що при . Знайдемо в (4.12) границю змінних величин при :

,

.

Таким чином, з теореми 3.9 випливає, що

.

б) Нехай . Введемо нову змінну

або .

Тоді, враховуючи, що при , отримаємо:

.

Таким чином, теорему доведено

Границю (4.11) ще називають другою “чудовою” границею для неперервного аргумента.

Приклад 4.1. Знайти

.

Розв’язування. Зробимо заміну , тоді при і

Приклад. 4.2. Знайти

Розв’язування. Зробимо тотожні перетворення:

Введемо нову змінну

або ,

тоді при і остання границя прийме вигляд:

Означення 4.3. Логарифм , основа якого дорівнює числу е, називається натуральнимлогарифмом і позначається , тобто

.

Розглянемо два основні наслідки границі (4.11):

Наслідок 4.2.1.

. (4.13)

Дійсно, зробимо в (4.11) заміну x/a=z, тоді при і x=za. Отримаємо:

Наслідок 4.2.2.

(4.14)

Дійсно, зробимо в (4.11) заміну z=1/x, тоді при і x=1/z. Отримаємо:

Запитання для самоконтролю.

1. Що таке перша “чудова” границя?

2. Які ви знаєте наслідки з першої “чудової” границі?

3. Сформулюйте і доведіть теорему про границю .

4. Що таке число е?

5. Чому рівна границя функції при ?

6. Що означає запис ?

7. Які ви знаєте наслідки другої “чудової” границі?

Приклади до розділу 4.

1. Знайти границі:

а) .	Відп.: 7;	б) .	Відп.: 3/4;
в) .	Відп.: 18;	г) .	Відп.: 4/3;
д) .	Відп.: 1/8;	е) .	Відп.: 0;
є) .	Відп.: 1;	ж) .	Відп.: ;
з) .	Відп.: 1;	и) .	Відп.: ;
і) .	Відп.: ;	ї) .	Відп.: .