Неперервність функції в точці.

Розглянемо визначену в деякому околі точки х=х₀ функцію y=f(x). Нехай y₀=f(x₀). Надамо значенню аргументу х₀ деякий додатний (або від’ємний) приріст . Новому значенню аргументу відповідатиме нове значення функції , де – приріст функції. Очевидно, що

.

Означення 5.1. Функція y=f(x) називається неперервною в точці х=х₀, якщо вона визначена в деякому околі точки х₀ і якщо

або

. (5.1)

Приклад 5.1. Покажемо, що функція неперервна в довільній точці х₀.

Дійсно,

.

Аналогічно можна показати неперервність кожної елементарної функції в точках де вона існує. Сформулюємо без доведення таку теорему.

Теорема 5.1. Кожна елементарна функція неперервна в усіх точках, де вона визначена

З умови неперервності (5.1) слідує, що

або .

Але , тому

(5.2)

Таким чином, щоб знайти границю неперервної функції при , досить підставити в функцію замість аргументу х його граничне значення х₀.

Приклад 5.2. Покажемо, що

.

Дійсно,

.

Оскільки і функція неперервна при z>0, а, значить, і при z=e, то з (5.2) випливає, що

.

5.2. Неперервність функції на проміжку.

Означення 5.2. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу (a, b), то кажуть, що вона неперервна на цьому інтервалі.

Означення 5.3. Якщо функція y=f(x) визначена в точці х=а і при цьому , то кажуть, що в точці х=а функція f(x) неперервна праворуч.

Означення 5.4. Якщо функція y=f(x) визначена в точці х=b і при цьому , то кажуть ,що в точці х=b функція f(x) неперервна ліворуч.

Означення 5.5. Якщо функція f(x) неперервна на інтервалі (а,b) і неперервна на кінцях інтервалу (а, b) відповідно праворуч і ліворуч, то кажуть, що дана функція неперервна на відрізку [a, b].

З означення неперервності функції в точці випливає, що функція y=f(x) неперервна в точці х=х₀ , якщо вона визначена в цій точці і виконується рівність

. (5.3)

Означення 5.6. Якщо в якійсь точці для функції не виконується хоча б одна з умов неперервності, то функція називається розривною в цій точці, а сама точка називається точкою розриву.

Означення 5.7. Якщо існують скінчені границі

, ,

але функція f(x) в точці х=х₀ не визначена або рівність (5.3) не виконується, то точку х=х₀ називають точкою розриву 1-го роду.

Цей розрив ще називають усувним, в точці розриву відбувається скінчений стрибок.

Усі інші точки розриву називають точками розриву 2-го роду.

5.3. Приклади дослідження на неперервність.

Приклад 5.3. Дослідити на неперервність функцію та побудувати її схематичний графік.

Розв’язування. Задана функція визначена на всій числовій осі крім точки х=3. Вона є композицією двох основних елементарних функцій (степеневої і показникової), тому є елементарною функцією (див. означення 1.16) і за теоремою 5.1 – неперервною при . В точці х=3 функцій має розрив. Для визначення роду точки розриву та побудови графіка знайдемо ліво- й правосторонню границі функції в точці х=3:

;

.

Таким чином, в точці х=3 функція має розрив 2-го роду (рис. 5.1).

Приклад 4. Дослідити на неперервність функцію

(5.4)

та побудувати її графік.

Розв’язування. Функції , х², х–3, за допомогою яких задається функція у, є неперервними на всій числовій осі. Тому функція у неперервна в усіх точках, крім, можливо, точок х=0 і х=1. В цих точках проведемо дослідження на неперервність за допомогою рівності (5.3):

а) точка х₀=0:

,

,

.

Таким чином, і функція неперервна в точці х=0;

б) точка х₀=1:

,

,

.

Таким чином, і, значить, функція в точці х=1 має розрив 1-го роду.

Схематичний графік функції (5.4) показано на рис. 5.2.

5.4. Властивості неперервних функцій.

Наведемо у вигляді теорем (без доведення) деякі основні властивості неперервних на відрізку функцій.

Теорема 5.2. Неперервна на відрізку [a, b] функція досягає на цьому відрізку хоча б один раз своє найменше m і найбільше М значення

Зміст цієї теореми проілюстровано на рис. 5.3.

Зауваження. 5.1 Твердження теореми хибне, якщо розглядати монотонну функцію неперервну на інтервалі (а, b). В цьому випадку функція не має найменшого і найбільшого значень.

Для розривних функцій твердження теореми може бути як хибним так і справедливим.

Теорема 5.3.Якщо неперервна на відрізку [a, b] функція f(x) на кінцях цього відрізка набуває різних по знаку значень, то на інтервалі (a, b) існує хоча б одна точка х=с, в якій функція приймає значення 0, тобто f(c)=0, де

Ця теорема має простий геометричний зміст (рис. 5.4). Неможливо з’єднати точки М₁(a, f(a)) і М₂(b, f(b)) неперервною лінією не перетнувши жодного разу вісь ОХ.

Приклад 5.5. Функція

неперервна на відрізку [-2; 3] і

,

.

Отже, на цьому відрізку існує точка, де дана функція дорівнює нулю. Дійсно, при .

Теорема 5.4. Якщо неперервна на відрізку [a, b] функція f(x) приймає на кінцях цього відрізка різні значення, тобто

,

то для будь-якого числа μ, розміщеного між значеннями А і В, існує хоча б одна точка така, що

Зміст цієї теореми ілюструє рис. 5.5. Довільна пряма перетинає графік функції хоча б один раз.

Наслідок 5.4. Якщо функція неперервна на відрізку [a, b], то на ньому вона набуває хоча б один раз будь-яке значення, розміщене між найменшим і найбільшим значеннями.

Дійсно, нехай і , тоді за відрізок можна взяти відрізок або

Зауваження. 5.2. Теорема 5.3 є частинним випадком теореми 5.4 при і .

Запитання для самоконтролю.

1. Дайте означення функції неперервної в точці.

2. Теорема про неперервність елементарних функцій.

3. Дайте означення функції неперервної на інтервалі, на відрізку.

4. Запишіть умову неперервності функції в точці.

5. Типи точок розриву функції.

6. Основні властивості функцій, неперервних на відрізку.

Приклади до розділу 5.

1. Знайти точки розриву функції:

. Відп.: .

2. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її схематичний графік.

3. Знайти при яких значеннях А і В функція буде неперервною і побудувати її графік, якщо