Порівняння нескінченно малих.

Нехай функції і – нескінченно малі при або .

Означення 6.1. Якщо відношення має скінчену границю відмінну від нуля, тобто

і ,

то і називають нескінченно малими одного порядку.

Приклад 6.1. Функції при є нескінченно малими одного порядку, тому що

(див. приклад 5.2).

Приклад 6.2. При нескінченно малі

, ,

є нескінченно малими одного порядку.

Доведення проводиться аналогічно попередньому прикладу з використанням наслідків до першої “чудової” границі (див. розділ 4.1).

Означення 6.2. Якщо відношення двох нескінченно малих прямує до нуля, тобто , то нескінченно мала називається нескінченно малою величиною вищого, ніж нескінченно мала , порядку малості, а нескінченно мала називається нескінченно малою нищого, ніж нескінченно мала , порядкумалості.

Приклад 6.3. Нехай . При нескінченно мала є нескінченно малою вищого, ніж нескінченно мала , порядку малості, оскільки

.

Означення 6.3. Нескінченно мала називається нескінченно малою k-го порядку відносно нескінченно малої , якщо і нескінченно малі одного порядку, тобто якщо

і .

Приклад 6.4. Якщо і , то при нескінченно мала є нескінченно малою третього порядку малості відносно нескінченно малої , тому що

6.2.Еквівалентні нескінченно малі.

Означення 6.4. Якщо відношення двох нескінченно малих прямує до 1, тобто , то нескінченно малі і називають еквівалентними нескінченно малими і позначають .

Приклад 6.5. Нескінченно малі і при є еквівалентними нескінченно малими, через те що

.

Приклад 6.6. Нескінченно малі і при є еквівалентними нескінченно малими, оскільки

.

Дійсно, зробимо заміну , тоді при і . Отримаємо:

.

Теорема 6.1. Для еквівалентності двох нескінченно малих і необхідно і достатньо, щоб їх різниця, тобто , була нескінченно малою вищого, ніж і ніж , порядку малості.

Доведення. Необхідність. Нехай і еквівалентні нескінченно малі. Покажемо, що їх різниця є нескінченно малою вищого, ніж і ніж , порядку малості. Дійсно,

.

Аналогічно для нескінченно малої .

Достатність. Нехай різниця нескінченно малих є нескінченно малою вищого, ніж і ніж , порядку малості. Покажемо, що і еквівалентні нескінченно малі. Дійсно,

.

Таким чином, теорему доведено

Приклад 6.7. Нехай і . Нескінченно малі і еквівалентні, оскільки

,

.

Наведемо список деяких еквівалентних нескінченно малих при : .

Запитання для самоконтролю.

1. Дайте означення нескінченно малих одного порядку малості.

2. В якому випадку нескінчено мала називається нескінченно малою вищого порядку по відношенню до нескінченно малої ?

3. Дайте означення нескінченно малої k-го порядку малості.

4. Які нескінченно малі називаються еквівалентними.

5. Сформулюйте необхідну і достатню умову еквівалентності двох нескінченно малих.

Приклади до розділу 6.

1. Знайти при порядок малості відносно х таких величин:

.

2. З нескінченно малих при величин вибрати еквівалентні х:

.