Диалектика математики 2 страница

Остановимся на некоторых гносеологических аспектах этого абстрагирования, которые в той или другой мере находят отображение в математике и в частности в геометрии. Начнем с простейших количественных и качественных операций, поскольку «качество» неотъемлемая категория любой науки и в том числе математики. Рассмотрим задачку, которую психиатры предлагают иногда детям младшего школьного возраста для определения их способности мыслить абстрактно:

«Сколько будет если к одной корове прибавить одну лошадь?»

Считается, что правильный ответ - два животных, и делается вывод, что ребенок может мыслить абстрактно (может обобщать понятия). Но так ли это?

Посмотрим, какая логика определяет этот ответ:

а) предполагается

1 корова = 1 животное,

1 лошадь = 1 животное,

отсюда 1 корова = 1 лошади и, складывая, получаем

1 лошадь + 1 корова = 2 животных.

Кому как, а для нас эта операция непостижима. Непостижима потому, что складываются не корова и лошадь, а формальные классы, не представляющие определенного качества, сложение которых является полной бессмыслицей и для математики, и для практики. (Дети это прекрасно чувствуют и потому стесняются получать тот ответ, который устраивает психологов.)

Рассуждать приходится по иному.

Понятие «корова» индивидуальность (тело), понятие «лошадь» тоже индивидуальность (тоже тело). И чтобы их сложить необходимо индивидуальности обезличить, превратить в бескачественные, но существующие телесные объекты, в мысленные конструкции.

Следовательно, абстрагирование как переход к другому качеству заключается не в том, что вводится понятие, отвлеченное от реальности, а в том, что результат абстрагирования отрицает существование прежнего качества объекта, ненадобность этого качества для данной формализации. Происходит подмена объекта в мышлении его «потребительским» качеством. Сам объект при этом остается неизменным, используется только другая его данность. Это очень важная формальная операция. Абстрагирование от объекта не производит замены объекта его схематическим отображением, а изменяет качественную составляющую данного объекта, концентрирует внимание на другом качестве, которое становится основным при проведении некоторой формальной (например, математической) операции, и поэтому математика становится не столько количественной, сколько качественной наукой. Однако эта качественность математического знания на сегодня не замечается.

б) пусть удалось выполнить операцию а), т.е. реальные объекты (живые существа) превратить в одинаковые мысленные конструкции, именуемые Y, тогда:

Вариант 1 Þ 1Y + 1Y = Y(1 + 1) = 2Y - это одна возможность,

Вариант 2 Þ Y + Y = YY - это другая возможность.

Вариант 2 можно записать иначе, если «слить» YY в единое ψ «вдвое» большее прежнего:

Y + Y = ψ .

В варианте 2 наличествуют только абстрактные объекты Y (символы объектов – отдельности), знак + это разместить рядом, сохранив тем самым различие не только в памяти, но и визуально. Операция рядом расположения не является математической операцией. Изображение ψ - уже математическая операция, обусловливающая в результате сложения возникновение нового качества.

Появление ψ приводит к исчезновению Y и Y, а в варианте 1 отпадает необходимость в качестве Y, которое, можно сократить, подразумевая при этом, что складываются не голые числа, а отображения одинаковых качеств этих чисел:

1Y + 1Y = Y(1 + 1) = 2Y

1 + 1 = 2 .

Сокращение Y как бы вообще убирает в уравнении качественную составляющую (животное) и отображает его уже не как животное, а как тело, т.е. как целое. И каждая цифра в последнем уравнении является нерасчленимым, отдельным целым. И в данном примере наличествует не абстрагирование от объекта к количественной величине, а наоборот, сохранение каждого объекта (как целого с качествами определенной, но формальной отдельности). Неосознанно мы, как детишки дошкольники, говорим в уме: одно тело и одно тело равно двум телам, то есть двум целым.

Можно рассматривать знак + как способ слияния и тогда:

+ = = - а это один объект

Т. е. при слиянии 1 + 1 = 1 - как единое целое возник новый объект, а старые объекты как целое исчезли, хотя они и присутствуют в уравнении и в нашей памяти. Это фиксация в нашей памяти и в уравнении предшествующего момента (левой части), которая уже «отмерла», уже отсутствует и потому небытийная. Фактически, с появлением правой части, левая часть исчезает. Она свою роль выполнила, и для нее уже нет места в новом времени и пространстве. Этого требует сама природа, поскольку в реальном мире все места заняты и появление нового возможно только при исчезновении старого.

Данное положение диалектики слабо усваивается не только математиками, но и философами. Хотя в быту каждый из нас с такими процессами сталкивается повседневно. Например: в сосуд с водой можно влить молоко, только вылив воду. И когда эта операция проделана, то каждый вновь вошедший в помещение (не видевший процесса выливания воды и наливания молока) увидит сосуд с молоком, и только субъект, проделавший эту операцию, будет помнить, что перед тем в нем была вода. Именно аналогичная память и сохраняется в левой части рассмотренных уравнений. Своего рода «замороженная» память.

Итак, все замыкается на человеческом мышлении, на абстрагировании и одновременно на памяти о предшествующем. Память - попытка превратить дискретное в непрерывное, то есть вернуться в реальность, как в последовательную череду событий. Любое природное явление (событие) протекающее во времени для памяти - это своеобразный кинопроектор, движущийся с регулируемой скоростью ленты. Медленно - и мы видим прерывистость, быстро - и все плавно и непрерывно. Если же посмотреть кадры на пленке - так движение вообще отсутствует. И в этой картине мы упираемся в очень интересную двойственность, имеющую место и в математике: в движение и покой.

На бытовом уровне мы фиксируем движение как перемещение относительно некоторого неподвижного объекта и легко находим как то, так и другое. И если выдвигается положение о том, что движение является атрибутом материи, без наличия которого материя не может существовать, то существование такого атрибута должно обусловливать и наличие противоположного качества - неподвижности и как следствие существования этого качества - отсутствие материи, отображаемое словом «ничто». И это диалектично, так как только ничто может уравновесить все и в единстве обеспечивать существование того явления, которое и называется словом - целое.

Но не будем отвлекаться и вернемся к основам геометрии, вернемся к форме.

Так что же такое форма? Форма - отграниченность, создающая отдельность. Это качество, позволяющее нам увидеть (выделить из мира) любой объект (тело, предмет, вещь и т.д.). Например, мы смотрим в ясный летний день на небо, на котором нет ни одного облачка. И что же мы видим? Мы видим чистое небо. Как приходит такое понимание? Оно обуславливается границей. Вот поверхность Земли, а дальше воздух, который невидим, но его толща, освещаемая Солнцем, приобретает голубоватый оттенок, и эту голубизну воздуха мы называем небом. Что еще можно увидеть на небе? Ничего, пока не появятся облака, которые видны через отграниченность белого от голубого. Ответ становится неоднозначным:

а) Я вижу небо с облаками.

б) Я вижу облака на небе.

в) Я вижу небо между облаками.

Из этого примера можно сделать вывод, что изучение пространственных форм − это изучение качественных характеристик. Снова получается, что статическая геометрия это не только количественная, но и качественная наука, и по этому признаку родственна физике. Отличие же состоит в том, что статическая геометрия оперирует одним природным свойством-качеством - протяженностью (остальные свойства являются для нее формальными свойствами), физика же охватывает всю совокупность природных качеств, хотя использовать в практике может только их мизерную часть.

Что же такое количество? Количество это отношение, создаваемое нашим мышлением, это больше или меньше, это появление эталона, который служит мерилом отношения. Без этого отношения не может быть и счета.

Можно проследить следующую последовательность появления цифр (счета). В сущности рис. 12. есть грубая аналогия мистического представления о возникновении Мира. (рис. 12):

Совершенно самостоятельно существует 1 и 1. А единственно по отношению к Б и наоборот (рис. 12.). Но это отношение не создает количества, т.к. А и Б есть демонстрация того факта, что единственность, как понимание, возникает из двойственности.

Если А субъект, то А может сказать, что видит Б как отдельность (объект, тело), имеющую форму (границы). Отдельность Б является полной, если А и Б не имеют ни одной «точки» соприкосновения. То, что находится между А и Б, не имеет формы и не может быть

1. Исходное = ничто = все.

2. Следующее = целое в потенции с внутренней границей

3. Разделение двух на отдельности и осознание единственности как первого отношения.

Рис. 12.

зафиксировано как отдельность. Это побочный результат разделения. Назовем эту «бесформенность» пространством и будем всегда помнить, что это не пустота, не изначальное ничто, в котором «плавало» целое, а результат разделения. Поэтому с точки зрения статической геометрии объем, образуемый телом, не является пространством, поскольку объем - конечная величина, легко определяемая через поверхность (внешнюю границу) тела, если исходить из внешнего измерителя. Пространство, образующееся при дроблении тела, не может быть измерено, так как каждый цикл (дробление пополам) будет автоматически создавать и свой эталон размера.

Итак, разделение потенциальных 2-х на отдельности позволяет А понять (осознать), что появление новых (других) объектов возможно путем деления Б на отдельности. И А совершает эту операцию (практически так же, как в случаях рис. 7 ¸9) для чего:

а) приближается к Б (перемещается в пространстве),

б) нарушает границу (разрушает) Б, сохраняя свою целостность, но изменяя форму (становясь клином) и раздвигает Б, превращая его в Б₁ и Б₂. Разделение на Б₁ и Б₂ создает между ними пространство, которое является другим по отношению к прежнему, так как оно создается уже тремя телами А, Б₁, Б₂. И это новое пространство позволяет А остаться между Б₁ и Б₂. Интуитивно мы осознаем, − это А уже не прежнее А, но оно может этого даже не «предполагать». Об этом знаем мы, так как автоматически отодвинули себя на безопасное расстояние, чем превратили А в тело аналогичное Б, т.е. из субъекта сделали объект А (колун). Отодвинув себя и сохранив А как телесность, мы зафиксировали чрезвычайно интересное явление, а именно:

Сознание имеет тенденцию не участвовать в материальных процессах, а лишь наблюдать за ними. Тем самым создавая эталон, как память о предшествующем состоянии. Использование памяти-эталона и есть рождение количества. Только память на рис. 3 или 4 знает, что конечный объект равен 1 по количеству отдельности есть половина и четверть предшествующего по размеру (объему). Но память – это прошлое. Здесь другая интуитивная догадка, что процесс разделения контролирует мысль, которая материальна по отношению к сознанию и практически бестелесна по отношению к нашему физическому миру [2]. Контрольная функция мысли в физическом процессе создает его количественные характеристики и, прежде всего, другое название отдельности. Появление А¢, Б₁, Б₂ все оставляет по-прежнему, то есть 1 = отдельность А¢ «смотрит» на себя, на Б₁ и Б₂ и констатирует, что существуют А¢ = 1; Б₁ = 1; Б₂ = 1 и по качеству отдельности (тело, вещь, объект) они все равны, то есть 1 = 1 = 1 и А¢ = Б₁ = Б₂. В статике, визуально (через пространство) А¢ фиксирует, что все тела

разные по форме: А¢ ¹ Б₁, А¢ ¹ Б₂, Б₁ ¹ Б₂,

разные по объему: - « - - « - - « - -,

разные по цвету: - « - - « - - « - и т.д.

Как результат: Все тела в дискретном мире равны (одинаковы) только по одному качеству - отдельности и это единственное качество, которое позволяет оперировать безразмерностными цифрами числового ряда как абстракциями. Поэтому постулирования типа «между любыми двумя цифрами натурального числового ряда можно поместить бесконечное количество дробных, иррациональных и т.д. чисел» является неправомерным, поскольку пространство между числами одного качества заполняется числами другого качества (качество - «целое число», качество -«дробное число») и вызвано неосознанным стремлением человеческого мышления к превращению дискретного в континуум.

Считается, что математика является только абстрактной, количественной наукой, и все ее свойства, числа, индексы, геометрические фигуры являются формальными отображениями либо некоторых количественных величин, либо схематического изображения реальных тел. А потому никакие качественные характеристики не могут быть присущи формальным количественным величинам.

Однако сами же числа не согласуются с такими предпосылками. Математические величины - числа, не являются единообразными. Они делятся на отдельности: числа целые, дробные, иррациональные, мнимые, комплексные, гиперкомплексные и т.д. И, как будет показано далее, это деление не случайно. Оно следствие диалектичности самих математических величин, их своеобразной «формально-качественной» отдельности, и требует создания качественно различных правил для проведения математических операций с полным набором этих чисел. И потому, само существование целых чисел натурального ряда как отдельностей не допускает возможности нахождения между ними дробных или других чисел, не относящихся к натуральному ряду, как принадлежащих к другому качеству, к другой численной отдельности.

Еще раз подчеркнем, что в арифметике каждое число из ряда натуральных чисел является целым по качеству отдельного, и промежутки между этими числами (целыми) не могут быть заполнены никакими дробными величинами, поскольку дробные величины есть отдельное другого численного качества. В природе же дробное - всегда отображение не целого (отдельного), а численной величины качества. Разница же в том, что целое (отдельное) не имеет размерности и по этому свойству сопоставимо только с другим целым (с другим отдельным), а природное качество всегда величина размерная, всегда изменяемая и сопоставима с аналогичным и только с аналогичным изменяемым качеством.

Вклинивание иного качественного в ряды отдельного означает подмену понятий. Постулирование существования в одной форме разных качеств обусловливает нарушение качественной структуры арифметики. Оно вносит элемент противоречия во «взаимоотношениях» между различными качествами числовых составляющих и обусловливает логическую неопределенность основаниям арифметики.

К тому же промежуток между арифметическими числами (или символ промежутка, например, пробел, «,», «;» и т.д.) отображает геометрическую составляющую арифметики - пространство (рис. 13). То самое истинно пустое математическое пространство, которое отделяет одно число от другого. (Пробел - формальная математическая «пустота». Он фиксирует отсутствие символов между цифрами или числами. Единственно допустимая в естественных науках пустота.)

Пространство Простр. »_-_» и т.д.

Рис. 13

Наличие в арифметике геометрической составляющей до сих пор математически не осознано. И, потому, в арифметику, минуя понимание математиков, незаметно и как бы противозаконно «влезает» геометрия, обусловливая существование отдельных чисел. Геометрия, которую уже невозможно выделить из арифметики.

Рисунок 13 можно представить и в другой форме (рис. 14):

И т.д.

Рис. 14

Изменение расположения тел, изменило пространство - промежуток, образуемый отдельностями - телами. Попытки перевести дискретный мир в сплошной противозаконны, пока сохраняются качества отдельности. (А такая попытка, например, наличествует даже в определении пространства Риманом [4]: «Пространство - непрерывная совокупность однородных объектов или явлений».) Отсюда выражения: «рассмотрим множество целых чисел» или «рассмотрим пустое множество» логически противоречивы, так как мысленный эксперимент, абстрагированный якобы от реального опыта, не опирается на этот самый опыт. Например, берем «мешок» (пустое множество). Засыпаем в него просо, песок и т.д. (числа, неопределенные отдельности разного качества) и, приравнивая, получаем винегрет качественности и бескачественности:

Объем = пространство = пустота.

Повторимся:

объем - отдельность, внешняя характеристика границ тела и он образуется телом. Тело всюду «тащит» за собой свой объем и никому его не отдаст. Без объема нет тела и нет объема без тела (трехмерное понятие);

пространство - размерностное качество (промежуток между отдельностями, одномерное понятие), возникающее при взаимодействии тел. Следовательно, «мешок» возникает только при наличии тел. Нет тел, - нет и «мешка».

пустота - отсутствие отдельности и качеств. Как отсутствие всего она равнозначна такому целому, с которым человеческое мышление, будучи дискретным, не имеет ничего общего, и постигнуть ее, а, следовательно, и использовать где бы то ни было невозможно.

Как можно говорить об абстрагировании до признания качества пустоты, если не осознается такой простой факт, что в пустоте нет и не может быть ничего по определению. В пустоту невозможно «всунуть» никакое тело, а также поля, числа или пространства. Есть тело, нет пустоты. Откуда возьмусь там Я да еще с мешком, из которого всегда достану все, что только смогу вообразить?

Наличие логической путаницы в основаниях математики, в ее понятиях и качествах, игнорирование диалектичности Мира являются постоянными предпосылками возникновения неопределенности в ее структурах. Эти предпосылки расшатывают ее фундамент, предопределяя ненадежность тех логических построений, на которых зиждется все ажурное здание современной математики. Они обусловливают перманентный кризис в различных разделах математического мышления, который уже перерос в процесс, создающий угрозу всему развитию математики, в кризис, существование которого не отрицают и сами математики.

Глубочайший кризис, охвативший всю математику, и описанный М. Клайном в книге [3], в этом крике души исстрадавшегося математика, обусловлен также и тем, что основания современной математики представляют собой логический винегрет путаницы количественных и качественных категорий (причем в неявном виде) при почти полном отсутствии диалектики. Кризис будет продолжаться до тех пор, пока математики не «почистят» свои основания диалектикой.

1.4. Математические иллюзии

Начнем с геометрического пространства. Понятие «геометрическое пространство» зародилось еще в древнейшие времена и с одной стороны до сих пор не имеет однозначного определения, а с другой, оставаясь основным геометрическим понятием, вообще не может являться элементом статической геометрии. Однако все остальные математические понятия и принципы статической геометрии имеются, существуя как бы независимо от пространства.

По-видимому, по этой причине понятие - «пространство» не было востребовано при аксиоматическом построении геометрии, хотя Риман и упоминает, «геометрия предполагает заданным заранее как понятие пространство…». Но заданное понятие «пространство» не является каким-то второстепенным понятием. Оно мыслится как основа любой геометрии, оно первично ко всем фигурам, включаемым в пространство, и отсутствие его в структуре геометрических понятий может свидетельствовать о том, что построение геометрии, не связанной с реальным пространством, совершенно некорректно, или о том, что это понятие не включается в соответствующую геометрию.

Первичность пространства ко всем геометрическим фигурам предполагала, что определение этого понятия следовало производить абстрагированием или другим способом от существующего физического пространства еще до того, как началось формирование первых геометрических аксиом, свойства которых «вытекали» бы из свойства пространства и тел, находящихся в нем. Однако определялось пространство постулированием отдельных не связанных между собой свойств. В результате было получено не пространство, а те разрозненные требования к свойствам пространства (о них далее), которые бы удовлетворяли механическому пониманию бескачественного пустого вместилища. Вместилища, способного «нести» формальные функции пространства, достаточные для статической геометризации объектов природы, но не для отображения реального пространства.

Аксиомы и постулаты, обосновывающие отдельные фигуры - вторичны частности по отношению к пространству уже потому, что аксиоматизируемые фигуры могут «располагаться» только в определенном пространстве, которое обладает конкретными свойствами, и свойства образуемых фигур должны быть подобны свойствам пространства. То обстоятельство, что все современные геометрии начинаются с нахождения абстрактных аксиом, не сохраняющих ни одного природного свойства, из которых структурируется определенная геометрия в неопределенном пространстве, есть поразительнейший нонсенс, обусловивший сначала геометрии, а затем и всей математике, статус «продукта человеческого разума».

Современные геометрии строятся аксиоматически аналогично статической геометрии Евклида, в которой между фигурами и их элементами отсутствуют качественные связи, и потому эти элементы при построении «прилепляются» к фигурам случайным образом по далеко не научному методу: «куда кривая выведет». Причем, «прилепляются» в движении с нарушением законов статической геометрии, запрещающей механическое движение. И уже после построения новой геометрии определяется вид, к которому она якобы относится, но не определяется, в каком же пространстве находятся фигуры «новой неевклидовой» геометрии.

То есть все геометрические построения, вопреки утверждениям математиков, проводятся индуктивным методом от частного к общему. А поскольку в творчестве аксиом не ограничен ни один математик, то их можно наплодить великое множество, а вместе с ними, вероятно, и геометрий, причем ничем между собой не связанных и, возможно, противоречивых (как, например, геометрии Лобачевского и Римана). К тому же движение от частного к общему (от аксиом к геометриям как к абстракциям пространства природы) совершалось не в классической форме. Происходило не отвлечение от природных свойств, а направленный выбор тех из них, которые обеспечивали построение некоторой геометрии. Поскольку результат абстрагирования оставался неизвестным даже после построения геометрии, то невозможно было ответить на вопрос: «Разворачиваются» ли все получаемые геометрии в одном пространстве или каждая из них имеет собственное пространство. И если «собственные» пространства имеются, то чем они различаются между собой?

Геометры оказались в положении того незадачливого механика, который взялся собирать большегрузную машину, имея в избытке все необходимые детали: двигатели, колеса, всевозможные трансмиссии, кузова, электрооборудование и т.д. от различных механизмов, кроме рамы. О необходимости которой он даже не имеет представления (она-то и обусловливает пространственную структуру тяжелого автомобиля). Конечно, он сможет собрать десятки различных агрегатов: рычащих, гудящих, крутящихся и даже движущихся, некоторые из которых, не исключено, и приспособить можно будет к каким-то полезным работам, но он никогда не построит большегрузный автомобиль (если, конечно, не изобретет рамы).

Геометры тоже «наизобретали», на основе аксиом, десятки противоречивых геометрий (их может несколько успокаивать только то обстоятельство, что в других разделах математики «наизобретали» не меньше). И сейчас усиленно разбираются, вместе с физиками (последние виноваты только в том, что поверили математикам на слово) - какая же из них соответствует природе (аналог у механика - какой же из агрегатов соответствует грузовику?). Вроде бы, у каждой из них есть некоторые свойства аналогичные природным, но в таком случае, почему их много и они между собой не связаны, более того, противоречат друг другу? Ведь не может же быть такого, чтобы в одном пространстве природы «работало» сразу несколько логически противоречивых геометрий. И, главное: В каком же пространстве они «находятся»? Вопрос, на который ответа еще не находится.

Считается, что математика является абстрактной наукой. Напомним, понятие «абстракция» включает два представления:

научное - отвлечение в процессе познания от несущественных сторон рассматриваемого явления с целью раскрытия существенных черт (выше была приведена несколько иная форма представления об абстрагировании);

метафизическое - рассматривающее свойства и отношения в отрыве от материального носителя.

Однако, начиная свои построения с аксиом (не от целого, а от частностей) и не только геометрических, математики ни от чего не отвлекаются (абстрагируются), (то есть не производят действия, предусмотренного первым пунктом определения абстракции). Они определяют правила получения аксиом, формы их взаимосвязей и выводят теоремы, логически подтверждающие эти взаимосвязи. Абстракция во всех этих построениях не просматривается, поскольку не выявлен предмет - целое, от которого следует абстрагироваться (то же пространство, например), и, следовательно, нет основания считать геометрию (раздел математики, а может быть и всю математику) абстрактной наукой. Здесь что-то в понимании математики как абстрактного предмета не вяжется со словом «абстракция».

Но математики абсолютно уверены, что математические методы, и в частности геометрические, есть абстрагирование от природных свойств, что они работают дедуктивными методами и частные положения и понятия, выводятся ими из общих положений и понятий (из аксиом, постулатов, правил, законов). (Получается, что пространство - частное понятие, и потому его до сих пор не определили даже аксиоматически.) Однако ни аксиома, ни закон и даже ни правило, не являются пространством и тем более природой или целым. Они суть некоторые представления, полученные при изучении природы путем разложения единой природы (целого) на отдельные элементы, понятия или определения, а потому отсутствующие в природе, но присутствующие в головах людей.

Эти удивительные «дедуктивные» представления просто ничем невозможно объяснить. Перепутать индукцию и дедукцию (все равно, что поставить телегу впереди лошади) можно было, только повинуясь многовековой традиции освященной авторитетом гениев. И гениями были древние греки - Платон и Аристотель, особенно последний, развивший и обосновавший логические и аксиоматические методы.

Именно с логического обоснования аксиом начинается геометрия Евклида. И начинается с ясного понимания того, что принципы и понятия геометрии являются абстракциями от реального мира и потому применимы и к реальному миру, и к миру геометрии, поскольку охватывают, в абстрактном представлении, основные черты реальных природных предметов. То есть, по предположению греков, обладают определенной степенью общности и первичности, как в геометрии, так и в реальном мире.

К абстрактному отображению элементов внешней реальности древние греки относили такие первичные (основные) геометрически неопределяемые (?) понятия, как точка, прямая, число. Они оставались неопределяемыми логическими методами постольку, как отмечал Аристотель, поскольку для основных понятий не существует исходных посылок. И потому обоснование основных первичных понятий начиналось с аксиом - со столь понятных и очевидных истин, что справедливость их не вызывала и до сих пор не вызывает никакого сомнения. Другие понятия - фигуры; треугольник, квадрат, куб, окружность и т.д. определялись посредством первичных понятий.