Диалектика математики 1 страница

1.1. Целое и отдельное в познании

Наше понимание целого соответствует пониманию его, изложенному в сутре из «Ишавасья — упанишады»:

«Ом. То есть целое, это тоже целое.

Ибо только целое рождается из целого:

и когда целое отнимается от целого,

смотрите, остаток есть целое.

Ом Шанти, Шанти, Шанти!»

Для дальнейшего понимания наиболее существенным будет:

1. все названные далее целые есть аналоги целого;

2. отсутствие в целом отношений, рождающих как качество-свойство, так и множественность.

Человек пытается познать целое, превращая его в единое путем разделения на познающего и познаваемое. Этим движением создается такое качество-свойство, как отношение. А поскольку исходное отношение – это отношение двух (субъект и объект), то возникает и количество (два) при качественном звучании одного (два рождают одного). В этом мистика чисел у Пифагора и их абсолютизация в современной математике.

Создание отношений всего и со всем есть основной способ познания и основное качество-свойство человеческого ума.

Понятие «целое», является основой науки так же, как и основой религии, но в таком значении в настоящее время практически не осознается. Оно отображает в себе все то, что содержат в неразрывном виде материальный и духовный миры. В этом значении «целое» принадлежит к основаниям философии.

Наука, как и ее отдельные дисциплины, исходит из реальности материального мира, представляющего собой целое другого качества, поскольку исключает духовный мир. Различные направления науки исследуют случайно выделенные свойства-качества, «превращая» целое в единое. Математика изучает количественные аспекты свойств, упуская из внимания единое.

Так что же представляет собой «единое» с позиций современной науки?

Единое − это самодвижимое совокупное всех свойств, не имеющее ни начала, ни конца. Это взаимосвязь бесчисленного количества свойств, образующих многоуровневую субстанцию – материю.

Материя — это целое, «доля» общего, проявившее себя через чувственно воспринимаемое движение. То есть единственным независимым от субъекта (наблюдателя) качеством проявленного единого является чувственно воспринимаемое движение. Остальные качества материи определяются как результат отношения, возникающего при взаимодействии двух тел. Здесь тело при отсутствии отношений есть целое в понимании Вед: отдельное как отношение, и единое как объект познания. Материя, для своего проявления, должна обладать постоянным самодвижением типа пульсации. Самодвижение является атрибутом единого. Отсюда, движением, не требующим двух, может быть только пульсация каждого (любых) из материальных тел.

Пульсация как процесс, через расширение и сжатие носит диалектический характер. Такое движение как неизбежность при смене цикла проходит через прекращение движения (через неподвижность). Неподвижность — это непроявленное единое, которое недостижимо для его проявленного состояния. Тело как совокупность проявленного и непроявленного возникает в момент перехода материального тела через неподвижное состояние при пульсации.

Поэтому понимание телесности (вещественности, материальности) дополняется еще одним представлением субстанции, а именно:

Любое тело это целое, такое же целое, как и весь мир. Отдельность ему создает способ существования, который носит самопринудительный характер и определяется тем, что каждое тело в одном цикле проходит процесс возникновения и исчезновения.

Покажем качественно на примере Земли (рис. 1) точки диапазона существования тела в процессе пульсации. В самом первом приближении Земля пульсирует примерно так же, как и резиновый шар, в котором искусственно и попеременно изменяется давление. В такт изменению давления происходит периодическое увеличение и уменьшение радиуса шара. И так же как у шара, в процессе пульсации Земли возникают две точки останова пульсации: в тот момент, когда радиус шара становится наибольшим 1 и наименьшим 2.

Рис. 1

В момент «останова» материальная поверхность Земли как бы «исчезает», поскольку материя без движения не существует. И всякий останов есть момент «несуществования» материи, т.е. поверхности земного шара (поскольку все полностью остановившееся ни с чем не взаимодействует, ничем не отображается и, следовательно, отсутствует для всего). Все, что имеется в природе и на Земле, приспособлено к этому многоуровневому процессу. В такт пульсации Земли всё обитающее на ней также «ныряет» в небытие (в ничто), изменяясь с возникновением (с началом нового цикла пульсации), и, следовательно, обеспечивая свое материальное бытие. Этим «нырянием» снимается «напряжение», возникающее во всех телах за счет их эволюции (роста, пульсации, расширения), так как эволюция требует изменения материи, а пространства для изменения нет, и потому изменяться и расти некуда. И для того, чтобы процесс эволюции происходил, необходимо всему «встряхнуться», «расшириться», точнее частично «разуплотниться», обусловливая развивающимся (разрастающимся) телам возможность раздвижения разуплотнившейся материи и образования условий дальнейшего роста. И это все также входит в понятие целого. Отметим, что в мире отдельного (в мире тел), статика отсутствует, а все, что ощущается как статика, есть еще не осознанная динамика.

Человек, - мыслящее живое существо, являясь двойственным образованием (тело + душа), подчиняется законам как проявленного, так и непроявленного целого.

Отметим, что основу мышления человека составляет язык, базирующийся на определенных понятиях и словарном запасе, которые дискретны. Эта структура и определяет дискретность нашего мышления. Обучение ребенка языку одновременно становится «дискретизацией» мира, утверждением как бы отдельности всех тел, предметов и явлений путем их языковой символизации. Поэтому реальный мир с детства закрепляется в мышлении как состоящий из отдельных частей и событий, т.е. становится изначально дискретным. Последующие попытки осознания (представления) этого мира как целого оказываются возможными только посредством «сдвигания» вместе отдельных тел, предметов, событий (как частей мира). И в нашем осознанном представлении и даже в интуитивном ощущении возникает понимание целостности как совокупности частей, «склеенных» туманным понятием «связи». «Связи» и обусловливают искусственно сформированному миру иллюзию целого.

Для понимания последующего необходимо применять как самостоятельные следующие понятия: целое, отдельное, единое.

Где:

целое — это то, что не имеет частей и отношений;

отдельное — это отдельные предметы или объекты, тоже целое внутри, а снаружи поверхность как отношение.

единое — это совокупность частей или целых, обладающих качеством и количеством.

Метаморфоза, переводящая материальное целое в отдельное и далее в единое, состоящее из частей, свойств, отношений происходит в момент, когда человек фиксирует что-либо (тело, предмет и т.д.), отличая его от окружающего фона — целого. Эта фиксация состоит из нескольких последовательных операций:

а) выделение тела из фона (целого) как отдельного созданием отношения;

б) узнавание отдельного методом аналогии;

в) наименование (обозначение словом — символом), превращение в единое;

г) наделение целевым признаком, полезным для человека.

Например, геолог в движении фиксирует световую вспышку. Оборачивается и различает блестящее тело (а), приближается к нему и видит камень (б), который определяет как кварц (в). Он знает, что кварц — минерал, который можно использовать в производстве (г).

.

1.2. Отдельное как целое

Являясь целым, человек, единственное из существ, населяющих Землю, потерял ощущение целостности себя и, как результат, не в состоянии воспринимать целостность мира.

Парадокс человеческого мышления заключается в том, что человек пытается примыслить невозможное двойственное:

- отделить себя целиком от всего остального, не замечая, что тем самым переходит в качество дискретности − отдельного;

- сохранить свою целостность со всем остальным, т.е. находиться в качестве сплошности.

Потеря ощущения целостности мира человеком есть следствие его становления как личности, его выделения из природы, его эго. Дуализм субъективного восприятия себя человек целиком переносит на Мир, навязывая ему свои собственные ощущения и представления.

Покажем примерную схему того, как это происходит.

Все психологи знают, что взросление человека носит не столько физиологический характер, сколько психологический и в сущности своей заканчивается как процесс вместе с осознанием себя личностью, т.е. в неявном противопоставлении своего Я всему остальному миру: Я существую как отдельность, и следствие этой отдельности - возникновение антропоцентризма:

Я есть мера всех вещей.

Существую Я и окружающий мир.

Было время, когда меня не было, и будет время, когда Я исчезну.

И т.д. и т.п. …

Отсюда перенос на мир:

Мир состоит из отдельных вещей (тел, объектов).

Каждое тело отделено от другого тела. (Имеет свою форму, свои свойства и т.д.).

Каждое тело когда-то возникло и когда-то исчезнет.

Все в жизни подчинено времени, которое однонаправлено.

И т.д. Каждый может продолжить с любой строчки.

Отсюда, первым телесным качеством становится отдельность. Отдельность (дискретность) нашего мира есть результат внутренней проекции нашего ума. Это не более чем перенос на внешнее (внешний мир) момента осознания своего Я. Не мир изначально состоит из отдельностей, а возникновение внутренней отдельности переносит это ощущение на внешний мир. Поэтому, чтобы получить принципиально другую картину мира, нужно эту проекцию убрать. Психологически в обыденности это трудно, но именно на дискретности (отдельности) основывается вся система математического научного мышления. Оно заменяет «отдельность» как телесное качество безразмерностной категорией «количество», не имеющей никакого отношения к реальности, обусловливая возможность создания таких мыслительных конструкций, которые ничего общего не имеют с реальностью. Субъекты от науки не понимают, что в силу отсутствия диалектических знаний они, своими конструкциями, максимально отображают свое Я. Причем независимо от желания. И в такой хитрой форме, что мир исчезает, а Я остается, и это Я творит, творит то, чему нет никакого соответствия вне Я. То есть Я творит одно из проявлений собственного Я. Но, психологически, Я может сотворить только 1 и/или 2 и их комбинации. Эти цифры и оказываются в основаниях арифметики. Именно поэтому математики со времен Пифагора базировались на цифре 1, не осознавая, что фактически исходят из цифры 2, которая и делает мир дискретным.

Вместе с тем, в математике числа как голой абстракции быть не может уже потому, что число востребуется как элемент объединения разного отдельного по одному качеству – отдельного, и это качество есть конкретное, обособленное и единое для всех предметов, то, что может быть выражено посредством числа или другого знака. То есть:

1 = 1 - если это отдельность или качество, в том числе и формальное (тело, метр, кг, рубль и т.д.)

Теперь, определившись с появлением двух первых чисел арифметического счета, можно поставить вопрос: какая операция является исходной при построении здания арифметики?

Ответ: деление, - потому, что в делении наличествует ликвидация сплошности и абсолютизация дискретности.

«Я» всегда остается в своем мышлении целым (неделимым, монолитным), а все остальное не воспринимается таковым, т.е. является разделенным и, более того, может подвергаться дальнейшему разделению.

Последовательность «разделения»:

Ситуация А

Рис. 2

В ситуации А объект и Я = 1, как отдельные. И по этому качеству и только по этому качеству их можно приравнять 1 = 1. В этом приравнивании отображается их равноправность, равнозначимость т.к. они определяются одним качеством «отдельностью». Но если Я целое и неделимое, то внешний объект таковым не является, поскольку его можно разделить на две части, что показано на рис. 3, где из объекта на рис. 2 получены объекты X и Y.

Ситуация Б

Рис. 3

Только в ситуации Б возникает количество, поскольку приравнивание 1(Я) = 1(объект) в ситуации А есть мистическая абсолютизация единицы как неделимого целого. Поэтому, появившись, объект X = 1 и объект Y = 1 уже несут в себе память о предшествующем разделении, что позволяет нам делать операцию сложения 1 + 1 = 2, которая невозможна для ситуации А. И эта память растет с каждым последующим делением как количество.

Отметим, что дробление одного целого на бесчисленные «доли» - новые целые не изменяет количества свойств у новых целых. Они тоже целые, но другие - новые целые, включающие те же свойства, которыми обладало первичное целое, но с иной численной величиной этих свойств и, следовательно, целые другого качества.

Все операции дробления Объекта X и/или Объекта Y можно строго и последовательно повторять еще и еще раз, получая в каждом случае новые объекты, качественно одинаковые по одному признаку - отдельности. И в этой процедуре неявно, как бы аксиоматически, утверждается очевидная для большинства людей (и математиков тоже), но не доказанная вещь, а именно то, что всегда и во всех ситуациях существует равенство: 1 = 1, что далеко не очевидно.

Теперь, разобравшись немного с операцией дробления, мы получили возможность последовательного дробления объекта на части в виде (рис. 4), где повсюду 1 º 1 º 1 º 1… по качеству отдельности:

Рис.4.

Попробуем перейти к другой операции, к операции слияния (сложения), предварительно отметив,что деление объекта (дробление) может производиться в любой пропорции (рис. 5), а не только пополам.

Из наших рассуждений мы получили определенный класс объектов, которые равны и равноправны (равнозначны) по одному фундаментальному признаку - по признаку отдельности. Если требование отдельности наложить на реально воспринимаемый нами

Рис. 5

мир (он визуально состоит из отдельных объектов), то сразу получаем чрезвычайно интересный вывод:

В мире отдельных вещей отсутствуют неделимые объекты (более определенно, отсутствуют неделимые кирпичики), и процесс деления любого тела (отдельности) никогда не прекратится (первокирпичик не встретится).

Отметим: данный диалектический анализ проводится для выделения некоторых математических понятий, базирующихся на отдельных природных качествах. Если же рассматривать процесс дробления объектов на отдельности в целом, то следует учитывать и то обстоятельство, что каждая образующаяся отдельность является одновременно и качественно новой отдельностью, отличающейся от остальных численной величиной всех своих качеств и памятью. По этому признаку она всегда является индивидуальностью, не тождественной ни с одной другой индивидуальностью. Если же эти обстоятельства учитывать, то математика как наука никогда бы не возникла.

Как следствие отсутствия первокирпичиков мир отдельных вещей никогда не будет познан. Ибо на каждой ступени концентрации усилий по изучению любой его доли (нового целого) будет сохраняться тождество отдельности: 1 º 1 º 1 º 1 …, то есть будет происходить автоматический откат к исходной отдельности.

Последовательность разделения состоит из нескольких неявных стадий:

Исходное состояние (рис. 6).

Внимание

Рис. 6

Субъект выделяет (обращает внимание) на объект Б, если объектов много, или сразу начинает движение к Б.

Промежуточное состояние (сближение) рис. 7: Действие рис. 8:

Рис. 7 Рис. 8

И результат рис. 9.

Рис. 9

Эта процедура разделения обусловлена еще одним диалектическим обстоятельством: разделение происходит в силу невозможности слияния, поскольку в ситуации А (рис. 2.) Я – неделимое целое, а объект Б этим качеством не обладает. Пока рассматриваемый мир не наделен возможностью слияния, он не диалектичен, односторонен и принципиально невозможен как мир, как совокупность единого. Отсюда и возникает необходимость введения в этот мир процесса слияния (соединения) объекта, обратного разделению (разъединению).

Но понимание «простого» слияния скрывает небольшой нюанс, до сих пор явственно не отмеченный в математике. Операция разделения сопровождается образованием отдельностей другого качества. Другое качество отдельностей препятствует их слиянию и «восстановлению» прежнего целого. Получение прежнего целого обусловлено созданием новых условий слияния, и может оказаться так, что не найдется технологии восстановления прежнего целого.

Вернемся к рис.4 и выясним, возможен ли обратный процесс, который переводит его в состояние, отображаемое рис. 2. Логически это сделать нетрудно в следующей последовательности (последовательность действий показана на рис. 10 стрелками).

Рис. 10

То, что сделано, называется сближением или рядом расположением. Соединение, а тем более слияние, отсутствует по той причине, оно еще не введено в конструкцию. Вводя слияние как противоположность разделению, возвращаемся к конструкции рис 2 (рис. 11).

Рис. 11

Из рассмотрения вышеизложенного получаем следствие: Мир, который видится дискретным, состоящим из отдельных тел, таковым не является. В нем присутствует еще одно качество, противоположное дискретности - сплошность. Причем роль этих качеств различна:

дискретность делает мир узнаваемым, позволяя в определенной степени вычленять из мира тела и рассматривать их как отдельные объекты и, прежде всего, вычленять из мира себя (Я и все остальное).

сплошность делает мир целым, телесным, обеспечивая его существование, как и всего, что есть, так и того, чего нет, т.е. нам неизвестного. И, следовательно, никак не может быть воспринят дискретным (отдельным). В сплошности (непрерывности) «отдельное» отсутствует.

Самое поразительное, что сплошность мира люди, особенно связанные с наукой, воспринимают как пустоту, как отсутствие всего, то есть бестелесное, что объяснимо, т.к. диалектические понятия «все» и «ничто» равнозначны (равноправны).

1.3. Введение в диалектику математических

понятий

Рассмотрим понятия, связанные с геометрией. Самое распространенное определение понятия «геометрия» приводится в [1]:

«… часть математики, изучающая пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, схожие с пространственными по своей структуре».

В этой формулировке объект «геометрия» обобщается словами «пространственные отношения и формы». Начнем с формы.

Форма как наружный вид, внешние очертания или конфигурация доступна всем, поскольку отождествляется с поверхностью тела. Последняя, в свою очередь, является границей, позволяющей увидеть или иным образом ощутить отдельность тела. Например, выражение «тело по форме напоминающее шар» понятно всем как название сферически замкнутой поверхности. Тело, отображаемое в своей форме, может двигаться (нефиксируемое самодвижение), либо покоиться (оставаться относительно неподвижным), либо изменяться (деформироваться). Самодвижение и механическое изменение формы всегда связано с взаимодействием и движением. Таким образом, геометрия, изучая форму предметов, помимо статики неявным образом соприкасается не только с математическим, но и с механическим движением, т.е. с физикой. Другое дело, понимают ли это математики или наличие фактора движения в геометрии ускользает от их внимания.

Очень существенно для понимания то, что форма это не самостоятельное качество тел, а следствие отдельности, ее проявление. Отдельность, в свою очередь, следствие всеобщей дискретности, которая фиксируется в нашем мире. В то же время отдельность (единичность) это отношение двух: субъекта и объекта, которое в совокупности образует еще одно качество - пространственность (как протяженность). И потому: не может быть такого начального состояния, как наличие пустого пространства (пустоты) и тела (безразлично субъекта или объекта). Субъект ощущает и осознает свою отдельность, если его органы чувств зафиксируют что-то, что не является им (не принадлежит ему), т.е. отделено от него некоторым расстоянием - пространством. (Существование пространства - есть отрицание тела, есть признак его формальной конечности, есть переход от тела к его противоположности, к телесности другого качества.)

Пространственные отношения даже по своему характеру предполагают как наличие движения (поскольку для определения расстояния необходимы эталоны и движение), так и пропорциональность отношений изменяемых форм. Движение обусловливается следующими факторами - свойствами пространства:

пространство это то, что обеспечивает возможность перемещения тел (механического движения любого вида, включая пульсацию);

отношение всегда есть взаимодействие как минимум двух объектов и, следовательно, пространственные отношения, по сути, есть отношения тел посредством своих параметров. Поэтому, исследуя пространство, мы неизбежно и тоже в неявной форме вводим в него тела, и потому пространство становится промежутком между телами. И только игнорирование движения в мысленном представлении пространства обусловливает свойству «пространство» качества субстанции равнозначной материи.

Само наличие пространства фиксируется только путем движения тел и, следовательно, где нет движения, там нет и пространства, как нет и самой материи. Так в полной темноте, прежде чем сделать шаг, человек протягивает вперед руку (вводит тело в пространство), убеждается в присутствии оного, а затем вводит в него и свое тело. Далее операция повторяется, пока рука не упирается в стенку (отсутствие пространства). Таким образом, возникает понятие размеров пространства (количество шагов). Находясь в неподвижности и в полной темноте, нельзя ничего сказать о пространстве ни как о пустоте, ни как об отношении.

Возникает вопрос: что же такое пространство? Вот возможные варианты ответов:

Ответ А: Это ничем не заполненная пустота (пустой ящик без стенок). То есть тождеством:

пространство = пустота = отсутствие всего,

постулируется превращение пространства в непознаваемое. В вещь в себе. Появление в таком мысленном пространстве субъекта невозможно по определению, а без субъекта кто будет познавать? Да и познавать-то нечего (ничего нет).

Ответ Б: Пространство есть то, что окружает каждое тело как повторение его твердой формы (скажем как воздушная оболочка Земли) и не обладает твердостью, препятствующей сближению тел. Этот ответ переводит пространство в объект изучения физики.

Ответ В: Пространство есть телесная протяженность между макротелами, образованная протяженностью микротел (эфиром), который обусловливает макрообъектам возможность движения, сохраняя при этом видимость их отдельности. Этот ответ образует мостик между физикой и геометрией. Физики, изучая тела и их свойства, будут учитывать закономерности вещественного пространства (эфира), а математики, работая с кажущейся пустотой, помнят, что она имеет протяженность и телесность.

Резюме: Современная геометрия, изучающая формы тел, всегда имеет дело со статикой (неподвижными поверхностями тел). Можно представить, как геометры «ползают» по поверхности, оставляя следы: как точки (когда они стоят); как линии (когда они измеряют поверхность); как плоскости (когда они рисуют «карты» этих поверхностей). Для понимания предмета геометрии это очень существенно, поскольку все операции на плоскости требуют неявного нахождения на ней и геометра, хотя бы в виде точки, обладающей способностью двигаться.

Когда начинается процесс изменения формы (поверхности), геометры убегают (улетают) «во избежание» и возвращаются на плоскость лишь тогда, когда процесс деформации закончен, т.е. в статику. Это суть статической геометрии. Чтобы знать, как изменяется форма, т.е. видеть процесс, геометр должен, хотя бы в воображении стать участником процесса, точнее, его исполнителем, и учитывать вещественность процесса, что невозможно в статической геометрии. В этом случае геометр (исполнитель) всегда центр, а инструмент (мысль) исполняет роль измерителя, фиксирующего процесс, и геометрия выходит за рамки статики. Но продолжим определения [1]:

2) «Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первое выражается в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Второе встречается в понятиях «больше», «меньше», в понятии о «равенстве тел».

3) «Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств».

В формулировках 2 и 3 имеются определенные недоговоренности, если не сказать большего:

а) Отвлечение от всяких свойств и отношений полностью отрывает геометрические тела от реальных объектов, не оставляя им никаких природных качеств и тем самым превращая их в пустую абстракцию, ничем не связанную с реальностью;

б) Обсуждаются и определяются только тела, в том числе вводится и понятие «геометрическое тело». Все это - рассмотрение формы. А между тем и в этом, и в других определениях исчезает представление о пространстве, которое геометрия обязуется изучать по определению.

в) Строго подходя к определению, понятие «геометрическое тело» получено посредством разделения формы и содержания, тогда как ранее отмечалось, что форма есть лишь проявление содержания, т.е. материальности тела. Аналогом такой абстракции может служить мир мыльных пузырей, где то, что находится вне пузырей и внутри их, тождественно (однородно).

г) Введение в первоначальное понятие количества, даже в простейшей форме (больше, меньше), равнозначно присутствию «независимого» наблюдателя, который и являет собой эталон и ∕или эквивалентно нанесению на пространство жесткой координатной (размерной) сетки.

д) Вместе с тем термин «пространственные отношения» есть недоговоренность, т.к. под отношениями подразумевают отношение тел.

Таким образом, предметом геометрии являются формы, абстрагированные от объектов окружающего мира, в том числе и от пространства и, следовательно, в статической геометрии пространство отсутствует по определению.