Математический спектр последовательности радиоимпульсов, периодичность которой нарушается за счет изменения начальных фаз импульсов.

При произвольном отношении частот ωр и W начальная фаза радиоимпульсов будет изменяться от периода к периоду. В этом случае условие u(t)=u(t+T) не выполняется, процесс становится не периодическим, хотя импульсы по-прежнему следуют с периодом T. Получить спектр такого процесса с помощью математического аппарата рядов Фурье для периодических функций уже нельзя. Такие радиоимпульсные последовательности называются почти периодическими. Рассмотрим два вида почти периодических радиоимпульсных последовательностей и способ получения их спектров. Будем называть их третьим и четвертым видами таких последовательностей.

Радиоимпульсную последовательность третьего вида можно получить, если «вырезать» радиоимпульсы из непрерывного колебания, но при этом не соблюдать кратности частот ωр¹kΩ (рис. 5.7,в1). В этом случае начальная фаза каждого (n-го) импульса будет зависеть от его номера в последовательности и будет равна .

Радиоимпульсную последовательность четвертого вида построим так, чтобы начальные фазы импульсов определялись некоторым сторонним колебанием с частотой ωП (рис. 5.7,г1). В этом случае начальная фаза каждого (n-го) импульса зависит от фазы этого колебания в момент начала импульса и будет равна . Периодичность последовательности будет определяться соотношением частот ωП и W. В частном случае при ωП=kW последовательность станет периодической.

И, наконец, радиоимпульсная последовательность пятого вида может быть получена в том случае, когда начальные фазы импульсов определяются некоторыс случайным, шумовым процессом.

Напомним, что спектр периодической последовательности мы определяли по схеме:

Периодический процесс, как функция времени.
Расчет коэффициентов ряда Фурье
Периодический процесс, как сумма частотных гармоник.

Для определения спектра почти периодической последовательности схема будет иной: находится спектр одного импульса, а спектр всей последовательности определяется как сумма спектров всех импульсов, которые входят в ее состав:

Функция, описывающая один импульс во времени.  
Спектр одного импульса.  
Сумма спектров всех импульсов.  
Обратное преобразование суммарного спектра во временную область.  
Функция времени, описывающая процесс суммой частотных гармоник.    
Функция, описывающая один импульс во времени.  
Спектр одного импульса.  
Сумма спектров всех импульсов.  
Обратное преобразование суммарного спектра во временную область.  
Функция времени, описывающая процесс суммой частотных гармоник.    

Один радиоимпульс с прямоугольной огибающей представим в виде:

Спектр такого импульса будет равен:

Учитывая, что: , запишем: .

Тогда:

.

Разделим числитель и знаменатель каждого слагаемого на –1, а затем на τ/2. Учитывая, что: , получим окончательное выражение для спектра одного радиоимпульса:

.

Спектры разных импульсов почти периодической последовательности будут отличаться только разной начальной фазой, которой присвоим индекс, соответствующий номеру импульса в последовательности: jn. А тем частям формулы, которые не зависят от номера импульса, для сокращения дальнейшей записи присвоим обозначения:

; .

Тогда спектр любого (n-го) импульса последовательности примет вид:

.

Теперь найдем спектры импульсов последовательности с учетом их запаздывания относительно начала отсчета времени t=0. Для этого используем теорему запаздывания из теории спектров, которая позволяет найти спектр смещенного (запаздывающего) импульса умножением его спектра на множитель , где Т3 – интервал времени между моментом t=0 и моментом появления этого импульса.

Импульс u0(t), появившийся в момент t=0, имеет спектр . Спектр следующего импульса, смещенного относительно нулевого импульса на один период u1(t+Т) с учетом запаздывания имеет вид: .

Аналогично находятся спектры остальных импульсов последовательности.

Импульс u2(t+2Т) имеет спектр . Импульс un(t+nТ) имеет спектр .

Спектр всей последовательности радиоимпульсов можно представить в виде суммы:

.

.

Величина φn/nT имеет размерность частоты. Поэтому обозначим ее φn/nT= ωn

Из теории обобщенных функций известно, что:

, где δ – дельта функция.

Чтобы воспользоваться этой формулой заметим, что в выражении для u(ω) роль n играет (−n), а роль х играет . Тогда:

Учитывая, что , спектр последовательности примет окончательный вид:

Чтобы представить почти периодическую функцию u(t) в виде ряда гармоник, подобного ряду Фурье для периодических функций, выполним обратное преобразование Фурье спектра u(ω).

Изменим порядок суммирования и интегрирования:

.

Дельта функция обладает фильтрующими свойствами:

.

В нашем случае , а .

Используя эти свойства δ-функции, получим выражение для u(t) в виде ряда гармоник:

Напомним, что здесь n = ±1, ±2, ±3, .......

Это выражение дает нам ряд в комплексной форме. Нетрудно представить его в тригонометрической форме:

.

Из этого выражения видно, что спектр почти периодической функции имеет такую же структуру, как и спектр периодической функции, однако и огибающая спектра и его гармоники теперь зависят от ωn=φn/nT, то есть от параметра, нарушающего периодичность процесса - изменения началь­ной фазы высокочастотного заполнения от импульса к импульсу. Закон изменения начальной фазы определяет положение гармоник на оси частот.

Рассмотрим частные случаи почти периодических радиоимпульсных последовательностей.

Радиоимпульсная последовательность третьего вида. Начальная фаза в этом случае определяется частотой ωр. Тогда φnpnT и ωn=φn/nT =ωp.

У спектра этой последовательности гармоники спектра расположены на частотах и, таким образом,«привязаны» к частоте заполнения импульсов ωр, в том числе и в тех случаях, когда она, в отличие от радиоимпульсной последовательности второго вида, не кратна частоте W (рис. 5.7, в). Счет гармоник начинается со значения частоты ω=ωр.

Максимум огибающей в этом случае не обязательно совпадет с положением гармоники. Поэтому здесь также можно раз­дельно изменять положение огибающей и положение гармоник на оси частот. Нули спектра находятся в точках 1/τ, 2/τ и т.д. При изменении частоты ωр гармоники перемещаются по оси частот, а огибающая остается неподвижной.

Радиоимпульсная последовательность четвертого вида. Начальная фаза каждого импульса определяется некоторым посторонним колебанием с частотой ωП: φnПnT. Тогда φn/nT=ωП. У спектра этой последовательности гармоники спектра расположены на частотах и, таким образом,«привязаны» к частоте постороннего колебания ωП. В этом случае, положение гармоник спектра на оси частот не зависит от частоты запол­нения ωр (рис. 5.7, г). Здесь также можно раздельно управлять положением огибающей на оси частот (меняя ωр) и положением гар­моник (меняя ωП).

И, наконец, возможен случай, когда начальные фазы импульсов будут меняться от импульса к импульсу по случайному закону. Это – радиоимпульсная последовательность пятого вида. Независимо от номера импульса n начальная фаза может принимать любые значения в интервале от 0 до , а величина - значения от до (n+1)ω. Отсю­да следует, что каждая из гармоник спектра будет распределена равномерно в полосе частот от nW до (n+1)W. В этом случае спектр процесса будет сплошным в пределах огибающей (рис. 5.7, д).

Таким образом, различают пять видов радиоимпульсных последовательностей: два периодических, два почти периодических и один случайный.

Все пять видов радиоимпульсных последовательностей можно реально получить на выходе автогенератора, работающего в импульсном режиме.

Если начальная фаза очередного радиоимпульса определяется остаточным колебанием от предшествующего импульса, недостаточно погасшим к моменту его возникновения, а частоты ωр и W кратны, то возникнет периодическая радиоимпульсная последовательность первого вида.

Если начальная фаза каждого радиоимпульса определяется колебанием, возникший в контуре при подаче напряжения питания на автогенератор (удар­ное возбуждение контура), то возникнет периодическая радиоимпульсная последовательность второго вида.

Если начальная фаза очередного радиоимпульса определяется остаточным колебанием от предшествующего импульса, недостаточно погасшим к моменту его возникновения, но частоты ωр и W произвольны, то возникнет почти периодическая радиоимпульсная последовательность третьего вида.

Если начальная фаза очередного радиоимпульса определяется посторонним колебанием с частотой ωП, введенным извне в контур автогенератора, возникнет радиоимпульсная почти периодическая последовательность четвертого вида.

И, наконец, если начальная фаза колебания определяется только шумами в контуре автогенератора, то на его выходе будет радиоимпульсная последовательность пятого вида.

 








Дата добавления: 2016-04-19; просмотров: 1623;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.017 сек.