Проекции (вращение вокруг линии уровня)

Эффективным приемом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путем такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекции. В этом случае ортогональная проекция любой принадлежащей плос­кости фигуры будет конгруэнтна оригиналу и, следовательно, позво­лит определить все метрические характеристики проецируемой фигу­ры непосредственно по ее проекции без каких-либо дополнительных построений.

Рис. 9

Очевидно, вращая плоскость вокруг горизонтали, можно перевести ее в положение, параллельное плоскости и получить неискаженный вид горизонтальной проекции. Вращение плоскости вокруг фронтали позволяет перевести ее в положение, параллельное плоскости , что обеспечит получение неискаженного вида фронтальной проекции.

Каждая точка плоскости при ее вращении перемещается по окруж­ности, принадлежащей плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Центр окружности будет находиться на оси вращения, а величина ра­диуса вращения равна расстоянию от точки до оси вращения. Если за ось вращения взята горизонталь, то окружность, представляющая тра­екторию движения точки, будет проецироваться на плоскость , в отре­зок прямой, перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали. На плоскость окружность проецируется в эллипс, построение которо­го можно не делать. Точка пересечения горизонтальных проекций гори­зонтали и горизонтальной проекции окружности определяет горизонталь­ную проекцию центра вращения.

Аналогично, при вращении плоскости вокруг фронтали любая точ­ка, принадлежащая плоскости, перемещается по окружности, кото­рая проецируется на плоскость в отрезок прямой, перпендикуляр­ной фронтальной проекции фронтали. Фронтальная проекция, центра вращения определяется пересечением фронтальных проекций фронта­ли и окружности.

Вращение точки вокруг горизонтали показано на рис.10. Точка А при вращении вокруг горизонтали h будет перемещаться по окруж­ности с радиусом R , плоскость которой a перпендикулярна оси вращения h.. Что­бы переместить точку в новое положение путем поворота ее вокруг h, необходимо найти положение центра вращения и определить величину радиуса вращения. Центр вращения О находится в точке пересечения оси вращения h с плоскостью a.

Чтобы определить величину радиуса вращения ОА , необходимо построить в плоскости прямоугольный О'А'А. Для этого принимаем горизонтальную проекцию О'А' за катет прямоу­гольного треугольника; второй катет должен быть равен разности ап­пликат концов отрезка ОА: .Гипотенуза О'А'А₀ О'А₀ = R,. Новое, после поворота, положение точки находится в месте пересечения дуги окружности, проведенной из горизонтальной проекции центра вращения О' радиусом, равным с горизонтальным следом плоскости b.

На рис. 11,а описанные выше построения выполнены на эпюре Монжа. Характер и последовательность геометрических построений, кото­рые необходимо выполнить для перемещения плоскости, произволь­но расположенной в пространстве, в положение, параллельное плос­кости проекции , вращением вокруг линии уровня, показаны на рис. 11,б, на котором плоскость a, заданная пересекающимися прямы­ми а и Ь, переведена вращением вокруг своей фронтали f в положе­ние, параллельное плоскости .

Плоскость a однозначно определяется также тремя точками 1, 2 и А. Так как точки 1 и 2 принадлежат фронтали f, которая принята за ось вращения, то они не меняют своего положения в процессе преобразова­ния. Поэтому, чтобы задать новое положение плоскости , доста­точно осуществить поворот только одной точки А.

Ниже приводится последовательность геометрических построений, которые необходимо выполнить для поворота точки А:

1) провести горизонтальную проекцию фронтали плоскости a -

2) пользуясь точками 1', 2', найти точки 1", 2", определяющие фронтальную проекцию фронтали f";

3) найти проекции центра вращения (О', О"), для чего через А"провести прямую, перпендикулярную к f", и отметить точку пересе­чения перпендикуляра с f" — точку О";

4)определить величину радиуса вращения, как гипотенузу прямо­угольного треугольника О"А"А₀,у которого катет ;

5) из центра О" провести дугу радиусом О"А₀, точка пересечения которой с прямой О"А" укажет положение .

Точка A₁ совместно с прямой f (точками 1, 2) определяет плос­кость .