Плоское зеркало и мнимый источник

Рис. 13.1 Рис. 13.2

Мы с вами знаем, что если перед плоским зеркалом поместить точечный источник света S, то за плоскостью зеркала получится мнимое изображение этого источника S¢ (рис. 13.1). При этом изображение S¢ будет зеркально симметричным источнику S относительно плоскости зеркала.

Возникает вопрос: что произойдет, если на плоское зеркало направить сходящийся пучок лучей, который в отсутствии зеркала сфокусировался бы в точке S, расположенной за плоскостью зеркала (рис. 13.2). Иными словами, какое изображение дает в плоском зеркале мнимый источник?

Рис. 13.3

Читатель: По-моему, достаточно построить ход произвольного отраженного от зеркала луча (рис. 13.3). Видно, что DABS¢ = DABS как прямоугольные, имеющие общий катет АВ и равные острые углы: ÐВАS¢ = ÐBAS = 90°– a, где a – угол падения луча на зеркало. Тогда S¢B = BS. Поскольку ход наших рассуждений не зависит от величины угла a, то можно утверждать, что все лучи, идущие к мнимому источнику S, отражаются так, что отраженные лучи пересекаются в точке S¢. Значит, точка S¢ – это изображение мнимого источника S.

Автор: Вы правы! Подчеркнем, что это изображение симметрично источнику относительно плоскости зеркала.

Читатель: Получается, что мнимый источник дает в плоскости зеркала действительное изображение, а действительный источник – наоборот, мнимое?

Автор: Именно так! Заметим, что рассеивающая линза в этом смысле ведет себя очень похоже: действительный источник всегда дает в ней мнимое изображение, а вот мнимый источник может дать и действительное (хотя и не всегда).

Рис. 13.4   Рис. 13.5

Задача 13.1. Постройте ход лучей и определите положение изображения предмета АВ (рис. 13.4) в оптической системе, состоящей из собирающей линзы и плоского зеркала. Предмет АВ находится на расстоянии 1,5F от линзы.

Решение. Прежде чем выполнять построение, решим вспомогательную задачу: на собирающую линзу падает сходящийся пучок лучей. Построим изображение мнимого источника (рис. 13.5).

Направим в точку S еще один луч – луч 3, параллельно главной оптической оси (рис. 13.6). После преломления он пройдет через главный фокус F (луч 3¢). Поскольку луч 1 проходит через линзу не преломляясь, то пересечение луча 3¢ с лучом 1 – это и есть искомое изображение (действительное!) S¢ мнимого источника S.

Рис. 13.6

Теперь перейдем к решению нашей задачи (см. рис. 13.4). Будем решать ее поэтапно. Сначала построим изображение предмета АВ в линзе так, как если бы никакого зеркала не было (рис. 13.7). Увеличенное перевернутое действительное изображение получилось бы на расстоянии 3F за плоскостью зеркала.

Рис. 13.7

Но на пути сходящегося пучка лучей стоит плоское зеркало, поэтому изображение А¢В¢ оказывается мнимым источником для плоского зеркала. И этот мнимый источник должен давать действительное симметричное себе изображение А²В² относительно плоскости зеркала (рис. 13.8).

Рис. 13.8

Читатель: Подождите! Это действительное изображение А²В² получилось бы, если бы на пути лучей, отраженных от зеркала не стояла бы линза!

Автор: Вы правы! Для линзы изображение А²В² является мнимым источником. И теперь нам осталось только построить изображение этого мнимого источника.

Рис. 13.9

Направим в точку В² луч 1, проходящий через оптический центр линзы, и луч 2, параллельный главной оптической оси (рис. 13.9). После преломления луч 2 пройдет через главный фокус линзы (луч 2¢), а точка пересечения лучей 2¢ и 1 – это искомое изображение В¢¢¢ точки В².

Итак, действительное изображение А¢¢¢В¢¢¢ получилось перевернутым и расположенным на расстоянии F/2 перед плоскостью линзы. Полная картина хода лучей показана на рис. 13.10.

Рис. 13.10

Читатель: А если бы предмет АВ находился к линзе ближе, чем фокусное расстояние (рис. 13.11)?

Рис. 13.11 Рис. 13.12

Автор: В этом случае линза давала бы мнимое изображение перед плоскостью линзы, которое бы «воспринималось» зеркалом как действительный источник (рис 13.12). Зеркало давало бы мнимое изображение этого источника, а линза «воспринимала» бы это мнимое изображение как действительный источник. Впрочем, все эти построения вы уже можете сделать самостоятельно.

СТОП! Решите самостоятельно: В1, С1.

Задача 13.2. За собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 30 см расположено на расстоянии а = 15 см плоское зеркало, перпендикулярное главной оптической оси линзы. Где находится изображение предмета, расположенного перед линзой на расстоянии d = 15 см? Каким будет изображение – действительным или мнимым?

см.

Значит, изображение мнимое и находится перед линзой на расстоянии | f | = 30 см. На рис. 13.13 – это отрезок А₁В₁.

Рис. 13.13

2. Лучи, в первый раз прошедшие от предмета АВ через линзу, падают на поверхность зеркала так, как если бы они исходили от действительного предмета А₁В₁, расположенного на расстоянии | f | + a = 30 + 15 = 45 см от зеркала. Значит, зеркало дает мнимое изображение А₂В₂ на расстоянии а + (| f | + a) = 15 + (30 + 15) = 60 см за плоскостью линзы.

3. Теперь рассмотрим лучи, которые падают на линзу после отражения от зеркала. Линза «воспринимает» их так, как если бы они исходили от предмета А₂В₂, расположенного на расстоянии 60 см от линзы. (В данном случае 60 см – это двойное фокусное расстояние, т.е. 2F = 60 см.) Поэтому, даже не используя формулу линзы, можно утверждать, что действительное изображение получится на расстоянии 2F = 60 см перед плоскостью линзы. Причем этот изображение (А₃В₃ на рис. 13.13) будет перевернутым.

Читатель: Получается, что мнимое изображение в зеркале А₂В₂ дает действительное изображение в линзе?

Автор: Именно так.

Ответ: получаются три изображения: а) мнимое на расстоянии 30 см перед линзой; 2) мнимое на расстоянии 60 см за линзой; 3) действительное на расстоянии 60 см перед линзой.

СТОП! Решите самостоятельно: В2, С2, С4.

Задача 13.3. Перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F находится точечный источник света на расстоянии 2F перед плоскостью линзы. За линзой под углом a = 45° к главной оптической оси расположено плоское зеркало. Плоскость зеркала пересекает главную оптическую ось линзы в главном фокусе (рис. 13.14). Где находится изображение?

Рис. 13.14

Рис. 13.15

Таким образом, для зеркала точка S₁ – это мнимый источник, значит, зеркало дает действительное изображение в точке S₂, симметричной точке S₁ относительно плоскости зеркала.

Найдем положение точки S₂. Рассмотрим треугольники AS₁B и AS₂B. Они оба прямоугольные, один катет АВ у них общий, а BS₁ = = BS₂, так как точки S₁ и S₂ симметричны относительно плоскости зеркала. Следовательно, DAS₁B = DAS₂B и ÐВАS₂ = ÐBAS₁ = 45°. А это значит, что АS₂ ^ SS₁, AS₂ = AS₁ = F.

Мы нашли положение точки S₂ – она находится на перпендикуляре к главной оптической оси линзы на расстоянии F от главного фокуса.

Ответ: действительное изображение находится на перпендикуляре к главной оптической оси линзы на расстоянии F от главного фокуса.

СТОП! Решите самостоятельно: В4, С5, D1.