Уравнение колебаний

Рис. 15.4

Попробуем выяснить, как зависят от времени заряд на обкладке конденсатора и сила тока в колебательном контуре (рис. 15.4). Но прежде, чем мы приступим к вычислениям, отметим следующее:

1) ток в процессе колебаний течет то в одном, то в другом направлении. Чтобы величина силы тока в данный момент времени была определена однозначно, необходимо задать направление обхода контура. Тогда ток, текущий вдоль направления обхода, считаем положительным, а против – отрицательным;

2) заряды на пластинах конденсатора всегда равны по величине и противоположны по знаку, поэтому надо договориться, заряд какой пластины (1 или 2) в данный момент мы рассматриваем;

3) напряжение между пластинами конденсатора – это разность между потенциалами пластин. Эта величина, как и сила тока, меняет знак в процессе колебаний. Чтобы величина была однозначно определена в данный момент времени, договоримся, что мы считаем напряжением U = j₁ – j₂ или U = j₂ – j₁, где j₁ и j₂ – потенциалы пластин 1 и 2 соответственно.

С учетом данных замечаний приступим к установлению зависимости от времени заряда q(t), тока i(t) и напряжения и(t):

1) зададим направление обхода контура по часовой стрелке (см. рис. 15.4);

2) назовем «первой» ту пластинку конденсатора, которая встретилась первой после катушки при следовании по направлению обхода контура, а «второй» – смежную с ней пластину. Зарядом конденсатора будем называть заряд первой пластины;

3) под напряжением будем понимать величину U = j₁ – j₂. Если q₁ > 0, а q₂ = –q₁ < 0, то , а если q₁ < 0, то .

Теперь приступим к расчетам.

Пусть в колебательном контуре емкость конденсатора равна С, а индуктивность катушки – L. Пусть в некоторый момент времени t заряд пластины 1 равен q(t), а сила тока i(t). Тогда за малое время Dt заряд пластины 1 изменится на величину Dq = i(t)Dt.

Величина Dq может быть положительной, если ток в данный момент времени t течет по направлению обхода, тогда i(t) > 0. Но величина Dq может быть и отрицательной, если ток в данный момент времени t течет против направления обхода, тогда i(t) < 0. В любом случае . При Dt ® 0 это означает, что

i(t) = q¢(t). (15.3)

Если в произвольный момент времени t заряд пластины 1 равен q(t), а сила тока равна i(t) (знаки для q(t) и i(t) значения не имеют), то энергия системы в этот момент равна

+=. (15.4)

Продифференцируем выражение (15.4) по времени:

+=

.

Подставим в последнее равенство значение i(t) = q¢(t) из (15.3) и получим:

Введем обозначение , тогда последнее уравнение примет вид

Это – хорошо знакомое нам дифференциальное уравнение, которое уже неоднократно встречалось при изучении гармонических колебаний (§ 1).

При начальном условии q(t) = q_m его решение имеет вид:

q(t) = q_mcos(wt), (15.5)

С учетом того, что напряжение на конденсаторе , можем записать:

cos(wt), (15.6)

где = и_т – амплитуда напряжения. А с учетом формулы (15.3) получим выражение для тока:

i(t) = q¢(t) = (q_mcos(wt))¢ = q_m(–sinwt)w = –q_mwsinwt.

Запомним:

i(t) = –q_mwsinwt. (15.7)

Здесь q_mw = I_m – амплитудное значение силы тока.

Графики зависимости заряда и тока от времени имеют вид двух синусоид, сдвинутых друг относительно друга на p/2. При этом заряд «опережает» ток (рис. 15.5).

Рис. 15.5

Циклическая частота колебаний равна

. (15.8)

Частота колебаний

. (15.9)[4]

Период колебаний

. (15.10)

СТОП! Решите самостоятельно: В1–В3, С1–С2.

Задача 15.1. В каких пределах должна изменяться индуктивность катушки колебательного контура, чтобы в контуре происходили колебания с частотой от f₁ = 400 Гц до f₂ = 500 Гц. Емкость конденсатора С = 10 мкФ.

f1 = 400 Гц f2 = 500 Гц С = 10 мкФ	Решение. Воспользуемся формулой (15.9): , отсюда Гн;
L1 = ? L2 = ?

Гн.

Ответ: индуктивность должна изменяться от Гн до Гн.

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А4.

Задача 15.2. Период электрических колебаний в контуре 1,0×10^–5 с. При подключении параллельно конденсатору контура дополнительного конденсатора электроемкостью 3,0×10^–8 Ф период колебаний увеличился в два раза. Определите индуктивность катушки и начальную электроемкость конденсатора колебательного контура.

Т1 = 1,0×10–5 с С2 = 3,0×10–8 Ф Т2/Т1 = 2	Решение. Вспомним, что при параллельном соединении емкости конденсаторов складываются, и применим формулу Томсона для обоих случаев: Т1 = , (1) 2Т1 = , (2)
L = ? C1 = ?

Разделим (2) на (1) и получим

.

Выразим индуктивность L из (1):

Т₁ =

Гн.

Ответ: , Гн.

СТОП! Решите самостоятельно: В4–В6, С3–С5.

Задача 15.3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,20 Гн и конденсатора емкостью С = 1,0×10^–5 Ф. Конденсатор зарядили до напряжения U = 2,0 В, и он начал разряжаться. Каким будет ток в момент, когда энергия контура окажется поровну распределенной между электрическим и магнитным полем?

L = 0,20 Гн С = 1,0×10–5 Ф U = 2,0 В Wм = Wэ	Решение. Энергия контура равна . В тот момент, когда энергии электрического и магнитного полей равны, на долю энергии магнитного поля приходится ровно половина полной энергии контура, поэтому
i = ?

.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: А5–А7, В7–В9.

Задача 15.4.Заряд q на пластинах конденсатора колебатель­ного контура изменяется с течением времени t по закону q = =10^-6cosl0⁴pt. Записать закон зависимости силы тока от времени i(t). Найти период и частоту колебаний в кон­туре, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колеба­ний силы тока. Все величины считать точными и заданными в единицах СИ.

Учитывая, что q = q_mcoswt, а i = –i_msinwt, легко находим значения заряда и тока:

q_m = 10^–6 Кл; i_m = 10^–2p А.

Находим амплитуду колебаний заряда и амплитуду колеба­ний силы тока:

w = 10⁴p Þ Гц;

.

Ответ: i(t) = –10^–2psin10⁴pt; q_m = 10^–6 Кл;

i_m = 10^–2p А; w = 5×10³ Гц; .

СТОП! Решите самостоятельно: В10–В12, С6.