Аналогичная последовательность возникновения полей происходит, если рассмотреть уравнение (9.18) с отличием в том, что существуют электрическоеполе с вектором

E_Xнапряжённостии магнитноеполе с вектором H_Z напряжённости.

Принято (рис.9.3) электрическоеполе плоской электромагнитной волнынаправлять вдоль OZ оси с вектором E_Z напряжённости, а магнитноеполе направлять вдоль OX оси с вектором H_Xнапряжённости, поэтому для математического описания плоской электромагнитной волнывыбрали (9.19) уравнение, положив E_X= H_Z = 0.

Продифференцируем по y координате первоеуравнение (9.18) и поменяем в смешаннойпроизводной очередностьдифференцирования, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²E_Z/∂y² = - μ₀μ(∂/∂y)(∂H_X/∂t) ↔ ∂²E_Z/∂y² = - μ₀μ(∂/∂t)(∂H_X/∂y) . (9.20) Подставим в (9.20) из второго(9.18) уравнения выражение∂H_X /∂y= - ε₀ε(∂E_Z /∂t) с учётом (9.9) квадратаc² = 1/ε₀μ₀ скорости светав вакууме, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²E_Z/∂y² = εμ(∂²E_Z/∂t²)/c². (9.21) Продифференцируем по y координате второеуравнение (9.18) и поменяем в смешаннойпроизводной очередностьдифференцирования, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²H_X/∂y² = - ε₀ε(∂/∂y)(∂E_Z/∂t) ↔ ∂²H_X/∂y² = - ε₀ε(∂/∂t)(∂E_Z/∂y) .(9.22) Подставим в (9.22) из первогоуравнения (9.18)выражение∂E_Z/∂y = - μ₀μ(∂H_X/∂t) с учётом (9.10) квадратаc² = 1/ε₀μ₀ скорости светав вакууме, вследствие чего получим следующее выражение: ∂²H_X/∂y ² = εμ(∂²H_X/∂t²)/c² . (9.23) Сравнивая (9.21), (9.23) с (9. 9), приходим к выводу, что выражения (9.21), (9. 23) являются частнымслучаем трёхмерных волновыхуравнений (9.9) и справедливы для плоской электромагнитной волны, котораяраспространяется в нейтральной, непроводящейсреде с постоянными ε диэлектрической, μмагнитной проницаемостями, в которой равняется нулюρ плотность свободныхзарядов, т.е. ρ= 0, и равняется нулю вектор j = 0 плотноститоков проводимости, т.е. j = 0.

Простейшим решением одномерных волновыхуравнений (9.21), (9. 23) по аналогии с

sотклонениемот положения равновесия частиц упругой среды в произвольный моментtвремени (рис.2.17) из раздела 2.0 "Колебания и волны" является следующая зависимость проекций E_Z, H_X на OZ, OX оси координат соответственно векторов напряжённостей E_Z электрическогои H_X магнитногополя, от tвремении y координатыпо гармоническому(2.69)из раздела 2.0 "Колебания и волны"закону: E_Z = E_mcos(ωt - ky+ φ₁) (9.24) H_X = H_mcos(ωt - ky+ φ₂) ,

где ω -циклическая частотаколебаний векторов напряжённостей E_Z электрическогополя вдоль OZ оси и H_Xмагнитногополя вдоль OX оси; k = ω/v (2.70)из раздела 2.0 "Колебания и волны"- волновое число, v = с/(εμ)^1/2- фазовая(9.10) скорость плоской электромагнитной волны; E_m и H_m - амплитуды колебаний векторов напряжённостейсоответственно E_Z электрическогополя вдоль OZ оси и H_Xмагнитногополя вдоль OX оси; φ₁ и φ₂ - начальные фазыколебанийвекторовнапряжённостейсоответственно E_Z электрическогополя вдоль OZ оси и H_Xмагнитногополя вдоль OX оси.

Подставим (9.24) в (9.18) и продифференцируем по tвремении yкоординате, вследствие чего получим следующие выражения: kE_msin(ωt - ky+ φ₁) = μ₀μωH_msin(ωt - ky+ φ₂)

kH_msin(ωt - ky+ φ₁) = ε₀εωE_msin(ωt - ky+ φ₂) .(9.25) Вследствие равенства функцийв (9.25) равны аргументыи коэффициентыпередэтими функциями, вследствие чего получим следующие выражения: φ₁ = φ₂; (9.26) kE_m = μ₀μωH_m

kH_m = ε₀εωE_m . (9.27)

Согласно (9.26) колебания векторов напряжённостей E_Z электрическогополя вдоль OZ оси и H_Xмагнитногополя вдоль OX осипроисходят в одной фазеили синфазно. Разделим в (9.27) первое уравнение на второе, вследствие чего получим следующие выражения: E_m/H_m = μ₀μH_m/ε₀εE_m ↔ E_m/H_m = (μ₀μ/ε₀ε)^1/2. (9.28) Согласно (9.28) отношение E_m/H_m амплитуд колебаний векторов напряжённостей E_Z электрическогополя вдоль OZ оси и H_X магнитногополя вдоль OX оси зависит отпостоянных

ε диэлектрической, μмагнитной проницаемостей среды. Для вакуума, у которого ε = μ = 1,выражение (9.28) принимает следующий вид: E_m/H_m = (μ₀/ε₀)^1/2. (9.29)

Плотность энергии плоской электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга

Вектор E_m напряжённости (рис. 09.0.4)электрическогополя совпадает или направлен противоположно единичному k орту, поэтому в декартовыхкоординатах её вектор E_m амплитуды имеет следующий вид: E_m =kE_Zm,(9.30) где E_Zm - проекция на OZ ось напряжённости электрическогополя в y координате по OY оси и в t время, когда эта напряжённостьотклоняетсяот O координат на максимальное значение, т.е. принимает E_m , "- E_m" значения.

Например (рис.9.4), если в момент t₁ временив точке с y₁ координатой они имели значение, равное нулю то через интервал времени, равный четвертиT/4 периода колебаний электромагнитной волны, векторы напряжённостей E электрическогополя вдоль OZ осии H магнитногополя вдоль OX оси достигнут максимальногозначения, т.е. (9.30), (9.31)значений E_m и H_m .

В произвольный момент t времении произвольной y координатеэлектромагнитная волна, распространяясь по OY оси в направлении единичного j орта,имеет(9.32) векторы E напряжённостейэлектрическогополя вдоль OZ оси и H магнитногополя вдоль OX оси. Вследствие наличия вектора E напряжённостиэлектрическогополя электромагнитная волнав среде с εдиэлектрической проницаемостью обладает (5.152) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" следующей плотностьюw_e энергии электрическогополя:

w_e = ε₀εE²/2,(9.33) где E - модуль вектора E напряжённостиэлектрического поля электромагнитной волныв вакууме в произвольный момент t времении произвольной y координате. Вследствие наличия вектора H напряжённостимагнитногополя электромагнитная волнав среде с μмагнитной проницаемостью обладает (8.35) из раздела 8.0 "Электромагнитная индукция. УравненияМаксвелладля электромагнитного поля" следующейплотностьюэнергии магнитногополя: w_m = μ₀ μH²/2,(9.34)где H - модуль вектора H напряжённостимагнитногополя электромагнитная волнав вакууме в произвольный момент t времении произвольной y координате.

Суммарная w плотность энергии электромагнитнойволны в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями с учётом (9.33) и (9.34) имеет следующий вид: w = w_e + w_m = (ε₀εE²/2) + (μ₀ μH²/2). (9.35) Преобразуем (9.35) с учётом условия (9.28) E_m/H_m = (μ₀μ/ε₀ε)^1/2, справедливого при распространении электромагнитнойволны в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями для значений модулей E, H векторов напряжённостей Eи Hсоответственно электрического и магнитногополей в произвольный момент t времении произвольной y координате, вследствие чего выражение суммарной w плотности энергии электромагнитнойволны имеет следующий вид:

w = (1/2)(ε₀εE²ε₀εE²)^1/2 + (1/2)(μ₀ μH²μ₀ μH²)^1/2 = (1/2)(ε₀εE²μ₀ μH²)^1/2 + + (1/2)(μ₀ μH²ε₀εE²) ^1/2 = (μ₀με₀ε)^1/2EH = (1/v)EH,(9.36) где v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 - фазовая скорость электромагнитнойволны в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями по аналогии со скоростью волны в упругой среде(2.75) из раздела 2.0 "Колебания и волны"

Умножим (9.36) на фазовуюv скорость электромагнитнойволны в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями и получим количество S энергии, переносимой электромагнитнойволной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитнойволны и равной единичнойплощади, за единицу t времени ив данный момент этого t времени. Эта величинаявляется S модулём плотности потокаэнергии и имеет следующий вид: S = vw = EH.(9.37) Векторы E напряжённостейэлектрическогополя вдоль OZ осии H магнитногополя вдоль OX осив произвольной y координате по OY оси и произвольное t время образуют правовинтовуюсистему с направлением распространения волны, совпадающем на рис.9.4 с направлением

j единичного орта.

Направление распространения электромагнитной волны является направлением переноса энергии. Векторное произведение [EH] совпадает (рис.9.4) с направлением j единичного орта, а значит совпадает с направлениемпереноса энергии. В силу взаимной перпендикулярности векторов напряжённостей E электрического и H магнитногополей модуль |[EH]| векторного произведенияс учётом (9.37) равен S модулю плотности потокаэнергии, вследствие чего выражение этого S модуля плотности потокаэнергии электромагнитнойволны имеет следующий вид: |[EH]| = EH = S.(9.38) С учётом (9.38)вектор S плотности потока энергии электромагнитнойволны или векторПойнтингаимеет следующий вид: S = [EH].(9.39) Согласно (9.39) вектор SПойнтингаимеет направление, совпадающее с направлением переноса электромагнитнойволной энергии. Модуль вектораПойнтингаравняетсяS модулю (9.37)плотности потокаэнергии, переносимой электромагнитнойволной.

Теорема Пойнтинга для плоской электромагнитнойволны

Поток Ф энергии, переносимой электромагнитнойволной через некоторую поверхность с F площадью по аналогии с Ф_m магнитным (7.17) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" потоком с учётом (9.39) имеет следующий вид: Ф = ∫SdF. (9.40) F По цилиндрическому проводнику (рис. 9.5) с σудельной проводимостьютечёт ток проводимостис постоянным по всему объёму цилиндрического проводника векторомj плотности, направленным перпендикулярнооснованиям этого цилиндра. На участке проводника l длинойсторонниесилы отсутствуют, т.е. нет внешних источниковЭДС, поэтому связь вектора j плотности токовпроводимости в проводникес вектором E напряжённости внешнего электрическогополя описывается (6.19) из раздела 6.0 "Электрический ток" законом Омав дифференциальной форме, вследствие чего выражение вектора j плотности токовпроводимости имеет следующий вид: j = σE, (9.41) где σ - удельная электрическая проводимостьпроводника. Согласно (7.124) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" циркуляция вектора H напряжённости магнитного поля поокружности r радиуса и 2πr длиной в области цилиндрического проводника, занятого магнетиком, равна

I_резрезультирующему макроскопическому или току проводимости через поверхность, которую охватывает эта окружностьr радиусом, вследствие чего выражение циркуляции вектора

H напряжённости магнитного поля поокружности r радиуса имеет следующий вид: H2πr = I_рез . (9.42)

Результирующий I_рез ток проводимости (рис.9.5) через поверхность кругаπr² площадью с постоянным по всей этой площадиj модулем вектора j плотности токовпроводимости, направленных перпендикулярно кругу, имеет следующий вид: I_рез = jπr². (9.43)Подставляем (9.43) в (9.42) и получаем следующее выражение, связывающее модуль Hвектора H напряжённости магнитного поля наокружности r радиуса с модулем j вектора j плотности токапроводимости, направленного перпендикулярно кругу πr² площадью: H2πr = jπr² ↔ H = jr/2. (9.44)

напряжённостей E электрического и H магнитногополей, внутрь(рис.9.5) воображаемого цилиндраVобъёмапо правовинтовойсистеме, т.е. если смотреть из конца вектораSПойнтинга, то для совмещения вектора E с вектором H по кратчайшемупути следует вращать вектор E против"часовой стрелки".

Площадь F боковой поверхности (рис.9.5) воображаемого цилиндра Vобъёмас r радиусом и l длиной имеет следующий вид: F = 2πrl . (9.46) В силу постоянствамодуля (9.45) S вектора SПойнтинга, перпендикулярногок F площадибоковой поверхностивоображаемого цилиндраVобъёмом, втекающийпоток (9.40) Ф энергии, переносимой электромагнитнойволной через эту F площадь боковой поверхности воображаемого цилиндраVобъёма,с учётом (9.45), (9.46) имеет следующий вид:

Ф = ∫SdF= SF = (Ejr/2)2πrl = Ejπr² l = EjV,(9.47) F

где V = πr²l - объём воображаемого цилиндра(рис. 9.5) с r радиусоми l длиной.Величина Ej в (9.47) с учётом (9.41) закона Омав дифференциальной форме, взятого по модулю, принимает следующий вид: Ej = j²/σ = ρj², (9.48) где ρ - удельное электрическое сопротивлениепроводника. Величина ρj² в (9.48) есть количество джоулевой теплоты, поступающей в единичный объём воображаемого цилиндра заединицуtвремени.Умножением ρj² на весь Vобъёмвоображаемого цилиндра получаем всё количество джоулевой теплоты, поступающей в Vобъём воображаемого цилиндра заединицуtвремени.

Выражение (9.47) есть частный случай теоремы Пойнтингао связиэнергии электромагнитнойволны сджоулевой теплотой, выделяющейся в проводнике в случае отсутствия стороннихсил, т.е. когда внешние источникиЭДС отсутствуют. Векторы E напряжённости электрическогои H магнитногополей на F площади (рис.9.5) боковойповерхности воображаемого цилиндра

Vобъёмаможно рассматривать присущими электромагнитной волне, которая переносит энергиюпо направлению вектора S Пойнтинга.

Энергия и импульс плоской электромагнитной волны

Поглощаясь в каком-либо M теле (рис.9.6), электромагнитная волнасообщает этому телу некоторый импульс, т.е. оказывает на него давление. Плоская электромагнитная волна, т.е. такая, у которой векторы E напряжённостейэлектрическогои H магнитногополей, находящиеся в равных фазах, лежат в плоскости, например, (рис.9.6) M тела, имеет вектор S Пойнтинга, перпендикулярный плоскости этого M тела. Плоское M тело имеет малую величину удельной

σэлектрической проводимостии постоянные ε диэлектрическую и μмагнитную проницаемости, равные единице. На (рис.9.6) плоскости M тела сторонниесилы отсутствуют, т.е. нет внешних источниковЭДС, поэтому связь вектора j плотности токапроводимости в M теле с вектором E напряжённости внешнего электрическогополя описывается (6.19) из раздела 6.0 "Электрический ток" законом Омав дифференциальной форме, вследствие чего выражение вектора j плотности токапроводимости имеет следующий вид: j = σE, (9.49)