Модуль FA ед.об. (9.52) вектора FA ед.об. силы Ампера, действующего на проводник единичного

V₀ объёма, определяется с учётом перпендикулярности векторов j плотности тока проводимости и H напряжённостимагнитного поляэлектромагнитной волны, т.к.вектор j плотноститока проводимости коллинеарен вектору E напряжённостиэлектрическогополяэлектромагнитной волны, а вектора H напряжённостеймагнитного и E электрическогополей в электромагнитной волне взаимно перпендикулярны, вследствие чего этот модульF_{A ед.об.} вектора F_{A ед.об.}силы Ампера имеет следующий вид: F_ед.об. = μ₀ jH. (9.53) Поверхностному слою (рис.9.6) тела M с единичным V₀ объёмом и dh толщиной вектором F_ед.об. (9.52) силы Ампера сообщается в единицуtвременимодульdKвектораdK импульсаcилы (1.43) из раздела 1.0 "Физические основы механики", который с учётом (9.53) имеет следующий вид: dK = F_ед.об.dh = μ₀ jHdh. (9.54) В этом же слое dh толщиной в единицуt временисогласно (9.48) поглощаетсяdW энергия, которая имеет следующий вид: dW = Ejdh, (9.55)

где (9.48) Ej - количество джоулевой теплоты, поглощаемой единичнымV₀ объёмом. Возьмём отношение (9.54), (9.55) и получим следующее выражение для отношения K модуля вектораKимпульсаcилы, действующего на проводник произвольного Vобъёма в единицуt времени, к количеству Wджоулевой теплоты, поглощаемойэтим проводником произвольного Vобъёма в единицуt времени: dK/dW = μ₀H/E ↔ K/W = μ₀H/E. (9.56) Подставим в(9.56) соотношение ε₀^1/2E = μ₀^1/2H (9.29), справедливое при распространении плоской электромагнитнойволны в вакууме для значений модулей E, H векторов

Eи H напряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей в произвольный момент t времении произвольной y координате, вследствие чего это выражение(9.56) принимает следующий вид: K/W = (ε₀μ₀)^1/2 = 1/c, (9.57) где с = 1/(ε₀ μ₀)^1/2 - скоростьсвета в вакууме. Согласно (9.57) плоская электромагнитнаяволна, несущая в единицуt времени

W энергию, обладает модулем KвектораKимпульсаcилы, действующего на проводник произвольного Vобъёма в единицуt времени, который определяется следующим выражением: K = W/c. (9.58) Если проводник имеет единичный V₀ объём, то в выражении (9.58) нужно использовать суммарную (9.35) w плотность энергии электромагнитнойволны и модуль K_ед.об.вектора

K _ед.об.импульсаcилы, действующего на проводник единичного V₀ объёма в единицуt времени, в связи с чем выражение (9.58) принимает следующий вид: K_ед.об.= w/c. (9.59)Согласно(9.37) связь суммарной w плотности энергии плоской электромагнитнойволны, распространяющейся в вакууме, с модулём Sплотности потокаэнергии, т.е. с модулем вектора SПойнтинга, имеет следующий вид: w = S/c. (9.60) Подставляем (9.60) в (9.59) и получаем следующее выражение, использующее модульS вектора SПойнтинга, для модуляK_ед.об.вектора K_ед.об.импульса, передаваемого плоской электромагнитнойволной проводнику единичного V₀ объёма в единицуt времени: K_ед.об.= S/c². (9.61) Выражение для вектора K_ед.об импульссучётом сонаправленности этого K_ед.обвектораимпульса, передаваемого плоской электромагнитнойволной в вакууме проводнику V₀ объёма единичного объёма в tединицу времени, вектору SПойнтинга,а такжес учётом связи (9.39) вектора SПойнтингаи векторов E напряжённостейэлектрическогои H магнитногополейэлектромагнитной волныимеет следующий вид: K_ед.об. = S/c² = [E,H]/c² ↔ S = c² K_ед.об. (9.62) Согласно (9.62) при переносев вакууме энергииплоскойэлектромагнитнойволной вектор S плотности потока энергии равен вектору K_ед.об импульса, передаваемого этой электромагнитнойволной проводнику единичного V₀ объёма в единицуt времени, умноженному на квадрат c² скорости света в вакууме.

Волновой характер электромагнитного поля движущегося заряда

Заряд Q имеет ρ(x, у, z, t) плотность заряда (рис.9.7), зависящую от t времении

x, у и z координат, в шаре V объёмом с R радиусом, который намного меньше

r расстояния до M точки, в которой определяется поле электромагнитнойволны, т.е. R << r.

Заряд Q c ρ(x, у, z, t) плотностью этого заряда двигается по OZ оси как единое целое с вектором u скорости, модульu которого много меньше v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скорости электромагнитнойволны в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями, т.е. u << v.

данный момент t времени по OZ оси.

Согласно закону Био - Савара - Лапласа и принципу суперпозиции(7.6) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" результирующий вектор B_M магнитнойиндукции в данной M точке от движущегося Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и

μмагнитной проницаемостями, равняется следующему интегралу:

B_M = (μμ₀/4π)∫([ j_т, r]/r³) dV, (9.64)

V

где r - радиус-вектор, проведённый из точкис координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, в M точку с координатами x_M, у_M, z_M, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция; r = [(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2- модуль r радиуса-вектораили расстояние между точкойс координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с x_M, у_M, z_M координатами, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция.

Векторное [j_т,r] произведение (9.64) в прямоугольной декартовой системекоординат с учётом равенства нулю в произвольный момент t времени проекций j_тX, j_тY по OX, OZ осямвектора

j_т(x, у, z, t)плотности тока проводимости, т.е. j_тX = 0, j_тY = 0,имеет следующий вид:

[j_т, r]= -j_тZ (y_M - y)i + j_тZ (x_M - x)j . (9.65)

Подставим (9.65) в (9.64) и получим следующее выражение результирующего вектора

B_M магнитнойиндукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc

ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями: B_M = (μμ₀/4π)∫{[- j_тZ (y_M - y)i + j_тZ (x_M - x)j]/r³} dV, (9.66) V

где r = [(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2- модуль r радиуса-вектораили расстояние между точкойс координатами x, у, z, находящейся внутри шара V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с координатами x_M, у_M, z_M, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция.

Представим результирующий вектор B_M магнитнойиндукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями в следующем виде: B_M = (μμ₀/4π)rot∫(j_т/r)dV, (9.67) V

Cогласно правилам вычисления ротации ротор от суммы векторов равен сумме роторов от каждого из векторов, входящих в эту сумму, поэтому (9.67) принимает следующий вид:

B_M = (μμ₀/4π)rot∫(j_т/r)dV = (μμ₀/4π)∫rot(j_т/r)dV, (9.68) V V

Cогласно (5.42) из раздела 5.1 "Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. ТеоремаГауссадля электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля" координаты (9.68) ротации в прямоугольной декартовой системекоординат с учётом равенства нулю в произвольный момент

t времени производных ∂j_тX/∂x, ∂j_тX/∂y, ∂j_тX/∂z и ∂j_тY/∂x, ∂j_тY/∂y , ∂j_тY/∂z от соответствующих проекций j_тX, j_тY по OX, OY осямвектора j_т(x, у, z, t)плотности тока проводимости, т.е. ∂j_тX/∂x= 0, ∂j_тX/∂y = 0,∂j_тX/∂z = 0 и ∂j_тY/∂x = 0, ∂j_тY/∂y = 0, ∂j_тY/∂z = 0, имеют следующий вид:

rot(j_т/r)= i ∂{j_тZ/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2}/∂y - j∂{ j_тZ/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^1/2}/∂x ↔

↔ rot(j_т /r)= - ij_тZ(y_M - y)/[(x_M - x)² + (y_M - y)² +(z_M - z)²]^3/2} + j{ j_тZ(x_M - x)/[(x_M - x)² + + (y_M - y)² +(z_M -z)²]^3/2} ↔ rot(j_т /r)= [-j_тZ (y_M - y)i + j_тZ(x_M - x)j]/r³, (9.69)

где учтено, что амплитуда j_тZплотности тока проводимостипо OZ оси величина постоянная, т.е. j_тZ = const, а также использовано правило дифференцирования отношения функций и

"цепного правила" при дифференцировании.

Подставим (9.69) в (9.68) и получим следующее выражение результирующего вектора

B_M магнитнойиндукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями, равного выражению (9.66): B_M = (μμ₀/4π)∫{[ - j_тZ (y_M - y)i + j_тZ (x_M - x)j]/r³} dV, (9.70) V

Вследствие равенства (9.70), которое получено преобразованием (9.67), выражению (9.66), которое получено преобразованием (9.64), возможно приравнять (9.64) и (9.67), вследствие чего результирующий вектор B_M магнитнойиндукции в (рис.9.7) данной M точке от движущегося Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями можно представить в следующем виде: B_M = (μμ₀/4π)∫([j_т,r]/r³) dV= (μμ₀/4π)rot∫(j_т/r)dV, (9.71) V V

Вектор B индукциимагнитногополя, создаваемый током проводимости с вектором j_т(x, у, z, t)плотности, в (рис. 9.7) произвольной M точке пространства в среде с постоянными относительными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями, имеет на основании (9.71) следующий вид: B_M ≈ (μμ₀/4π)rot{(1/r)∫uρ[t - (r/v)]dV ,(9.72) V

где [t - (r/v)] - параметр по аналогии (2.69) из раздела 2.0 "Колебания и волны", учитывающий ρ плотность заряда в шаре V объёмом с R радиусом, а также учитывающий τ = r/vвременное запаздывание, согласно которому вектор B индукциимагнитногополяв M точке, находящейся на r расстоянии от заряженного шара V объёмом будет определяться не ρ(t) плотностью заряда в этом шаре V объёмом в данный момент t времени, а ρ[t - (r/v)] плотностью заряда в заряженном шаре

V объёмом, которое было раньше данного момента t временина величину τ = r/vвременного запаздывания, за которое электромагнитнаяволна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростьюраспространится от заряженного шара V объёмом до M точки; 1/r - обратнаявеличина r расстояния от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B индукциимагнитногополя,вынесен за знак интеграла, поскольку это r расстояние намного больше R радиуса заряженного шара, т.е. r >>R, а интегрирование ведётся по V объёму, поэтому для удалённой на r расстояние M точки заряженный шар можно считать (рис.5.2), (рис.5.3) из раздела 5.1 "Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. ТеоремаГауссадля электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля" точечным Q зарядом; j_т(x, у, z, t) = uρ[t - (r/v)] - вектор плотности тока проводимости, вызванный (9.72) движением Q заряда по OZ оси как единое целое с вектором u скорости, который был раньше данного момента t временина величину τ = r/vвременного запаздывания, за которое электромагнитнаяволна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростьюраспространится от заряженного шара V объёмом до M точки.

Поскольку Q заряд ρ плотностью (рис. 9.7) двигается как единое целое, т.е. все части этого

Q заряда двигаются с одинаковойскоростью, в выражении (9.72) из под знака интеграла может быть вынесен вектор u скорости движения этого заряда, вследствие чего это выражение примет следующий вид: B_M ≈ (μμ₀/4π)rot(u/r)∫ρ[t - (r/v)]dV = {μμ₀Q[t - (r/v)]/4π}rot(u/r),(9.73) V

где Q[t - (r/v)] = ∫ρ[t - (r/v)]dV - полный заряд ρ плотностью в заряженном шаре V объёмом, который был

V

раньше данного момента t временина величину τ = r/vвременного запаздывания, за которое электромагнитнаяволна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростьюраспространится от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B_M индукциимагнитногополя.

Вектор (рис.9.7) p_Qдипольногоэлектрического момента (5.61) из раздела 5.1 "Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. ТеоремаГауссадля электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля" полного Q заряда, имеющего z координату, имеет следующий вид: p_Q= Qzk, (9.74)

где k - единичный (1.1) из раздела 1.0 "Физические основы механики" векторпоOZоси.

Первая p_Q′ производная по tвремениот вектора (9.74) p_Qдипольногоэлектрического момента имеет следующий вид: p_Q′ = Q(dz/dt)k = uQ ↔ u = p_Q′/Q , (9.75)

где u = j(dz/dt)- вектор u скорости Q зарядаc ρ(x, у, z, t) плотностью, направленный в данный момент t времени по OZ оси.

Подставляем (9.75) в (9.73) и получаем выражение вектора B_M индукциимагнитногополя в произвольной M точке пространства, находящейся (рис.9.7) на r расстоянии от заряженного шара V объёмом, считая его точечным Q зарядом, в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостямив зависимости от величины первой p_Q′ производной по tвремениот вектора (10.74) p_Qдипольногоэлектрического момента, которое имеет следующий вид: B_M ≈ (μμ₀/4π)rot {p_Q′[t - (r/v)]/r},(9.76)

где p_Q′[t - (r/v)]-первая производная по tвремениот вектора (9.74) p_Qдипольногоэлектрического момента, учитывающая величину Q[t - (r/v)] заряда шара V объёмом, который был раньше данного момента t временина величину τ = r/vвременного запаздывания, за которое электромагнитнаяволна с v = 1/(ε₀εμ₀μ)^1/2 фазовой скоростьюраспространится от этого заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B индукциимагнитногополя.

Определение электромагнитного поля движущегося точечного заряда

Заряд Q c ρ плотностью этого заряда двигается (рис.9.8) по OZ оси с вектором u скорости, т.е. вектор j_т плотности тока направлен по OZ оси, поэтому (рис.7.3) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" векторB индукции магнитного поля от этого движущегося Q заряда находится на окружности, плоскость которой параллельна координатной OXY плоскости. С использованием (5.42) из раздела 5.1 «Электростатика» определяем следующие проекцииB_MX , B_MY соответственно на OX, OY оси (9.76) вектора B_M индукциимагнитногополя (рис.9.8) впроизвольной M точке пространства

B_MY = (μμ₀/4π)(x/r²){(1/r) p_ZQ′[t - (r/v)] + (1/v)p_ZQ′′[t - (r/v)]} ≈ (μμ₀/4π)(x/r²){1/v)p_ZQ′′[t - (r/v)]}, (9.78)

где p_ZQ′′[t - (r/v)] - вторая производная по tвремениот вектора (10.74) p_Qдипольногоэлектрического момента Q заряда; r = (x² + у² + z²)^1/2 - модуль (рис. 09.0.8) r радиуса-вектораили расстояние между шаром V объёмом с R радиусом и Q зарядом, и M точкой с координатами x, у, z, в которой в данный момент t времени определяется магнитная индукция; r >>R - расстояние от заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется вектор B_M индукциимагнитногополя, поэтому для удалённой на r расстояние M точки заряженный шар можно считать (рис.5.2), (рис.5.3) из раздела 5.1 "Электростатика"точечным Q зарядом; знак " ≈" использован потому, что для случая большого r расстояния произвольной M точки пространства, в которой определяется вектор

B_M индукции магнитного поля, от Q заряда, т.е. при r → ∞, первым (1/r)p_ZQ′[t - (r/v)] слагаемым в (9.77), (9.78) можно пренебречь по сравнению со вторым (1/v)p_ZQ′′[t - (r/v)] слагаемым.

ПроекцияB_Z на OZ осьвектора B_M индукциимагнитногополя (рис.9.8) впроизвольной M точке пространства равна нулю, т.к. векторB_M индукции магнитного поля от движущегося по OZ оси Q заряда находится на окружности, плоскость которой параллельна координатной OXY плоскости.

В сферической системе координат вектор B_M индукциимагнитногополя согласно выражению сферических координат через декартовы имеет проекцию B_Mφ, отличную от нуля, по направлению

(рис.9.8) e_φ орта, вследствие чего выражение вектора B_M индукциимагнитногополя в M точке имеет следующий вид: B_M = (μμ₀/4πr){(1/v) p_ZQ′′[t - (r/v)]}sinθe_φ, (9.79)

где θ - угол, называемый в сферической системе координат полярным расстоянием.

ВекторH_M напряжённости магнитного поляв произвольной M точке пространства, возникающего вследствие движения Q заряда (рис.9.8) по OZ оси с учётом связивектора

B магнитной индукции с вектором H напряжённостимагнитного поля (7.127) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" B = μ₀ μH, имеет следующий вид: H_M = (1/4πrv)p_ZQ′′[t - (r/v)]sinθe_φ .(9.80)

выражение для вектора E напряжённости электрическогополяэлектромагнитнойволны имеет следующий вид: E = H (μ₀μ/ε₀ε)^1/2

v = 1/(εε₀μμ₀)^1/2↔ (μ₀μ)^1/2 = 1/v(ε₀ε)^1/2 ↔ E = H/vε₀ε ↔ E = (1/4πεε₀rv²) p_ZQ′′[t - (r/v)]sinθe_θ.(9.81)

E, H напряжённостей электрическогои магнитногополя электромагнитнойволны обратно пропорциональны r расстоянию до M точки, в которой определяется поле электромагнитнойволны. В направлении движения Q заряда по OZ оси, т.е. когда полярный θ угол равен нулю, эти E, H модули соответственно векторов E, H напряжённостей электрическогои магнитногополя электромагнитнойволны равны нулю.

Дипольный излучатель электромагнитных волнГерца. Интенсивность излучения диполя Герца

Простейшей системой, излучающей электромагнитныеволны, является колеблющийся электрический диполь. Это (рис.9.10) неподвижный положительный q₊ точечный заряди колеблющийся около него с ωциклическойчастотой по аналогии с (1.19) из раздела 1.0 «Физические основы механики»q_- отрицательныйзаряд. Вектор p дипольного электрического момента такой системы будет зависеть отt временисогласно следующему уравнению с гармонической функцией: p = p_mcosωt,(9.87)

где p_m = - ql_m k - амплитудноезначение векторапо аналогии с (5.61) из раздела 5.1 "Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. ТеоремаГауссадля электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля"электрического моментадиполяс расстоянием l_m между зарядами q₊ и q_- в начальный момент времени t₀ = 0 с учётом выбранного направления OZ оси координат и направления вектора p дипольного электрического моментаэтого диполя; k – единичный вектор. Проекция p_ZQ′′ на OZ ось вектора второй p′′(t) производной по tвремениот вектора (9.87) p дипольногоэлектрического момента, применяющаяся в (9.83), (9.85) для определения проекций E_θ,H_φ, на направление соответственно e_φ, e_θ ортов в сферической системе координат векторов (рис. 09.0.9)

E, H напряжённостей электрическогои магнитногополя электромагнитнойволны в произвольной

M точке пространства, имеет следующий вид: p_ZQ′′(t) = - ω²p_Zmcosωt, (9.88)

электромагнитнойволны в произвольной M точке пространства в данный момент t времени, вызванного колеблющимся с циклической ωчастотой (рис.9.10) по OZ оси координат электрическим диполем: E_θ = - (ω²p_Zmsinθ /4πεε₀rv²)cos[ωt - (2πr/λ)], (9.89)

H_φ= -(ω²p_Zm sinθ /4πrv)cos[ωt - (2πr/λ)],(9.90)

где (2πr/λ) - отставание по аналогии (2.69) из раздела 2.0 "Колебания и волны" фазового угла электромагнитнойволны с λ длиной волны в среде с постоянными ε диэлектрической и μмагнитной проницаемостями в зависимости от r расстояние до M точки, в которой определяется поле электромагнитнойволны, от фазовогоωtугла колеблющегося электрического диполявданныймомент t времени.

Амплитуды (9.89) E_θm = ω²p_Zmsinθ /4πεε₀rv²,(9.90) H_φm= ω²p_Zmsinθ /4πrvвекторов

Eи H напряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей уменьшаются при удалениина расстояние rот центра электрического диполя или возбудителя электромагнитнойволны и кроме этого зависят (рис.9.9) от полярного θ расстояния, т.е. θ угла между направлением

r радиуса- вектораи осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат, поэтому имеет место следующее соотношение: E_θm, H_φm ~ (1/r)sinθ. (9.91)

Δt <S> = ∫{[E_θm H_φm cos²[ωt - (2πr/λ)]/Δt}dt ~ E_θmH_φm ~ (1/r²)sin²θ,(9.92) 0

где <S> называют интенсивностью электромагнитнойволны при излучении диполем Герца. Зависимость <S (θ) > интенсивности электромагнитнойволны от θ угла между направлением

r радиуса- вектора(рис.9.11) и осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат,

называют диаграммой направленности. Сильнее всего излучает электрический дипольв направлениях, перпендикулярныхк егооси, находящейся на OZ оси координат, т.е. при θ = π/2. В направлениях, совпадающих (рис.9.11) с осью электрического диполя, находящейся на OZ оси координат, т.е. при θ = 0 или π, электрический дипольне излучает.

Средняя мощность электромагнитной волны, излучаемой движущимся с ускорением или колеблющимся точечным зарядом

Вектор (9.39) SПойнтинга, модуль S которого, т.е. количествоэнергии, переносимое электромагнитнойволной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитнойволны и равной единичнойплощади за единицу t времениив данный момент этого t времени от движущегося (рис.9.12) по OZ оси Q заряда, с учётом (9.83), (9.85) направления векторов E, H напряжённостей электрическогои магнитногополяэлектромагнитнойволны в произвольной M точке пространства по направлению соответственно e_θ, e_φ ортов в сферической системе координат имеет следующий вид:

S = [E, H] =[E_θe_θ, H_φe_φ] = [e_θ(1/4πεε₀rv²)p_Q′′[t - (r/v)]sinθ, e_φ(1/4πrv)p_Q′′[t - (r/v)]sinθ] == (p_Q′′sinθ/4πr)²(1/εε₀v³) e_r, (9.93)

где p_Q′′ = |p_ZQ′′| - модуль второй производной по tвремениот вектора (9.74) p_Qдипольногоэлектрического момента Q заряда, который равен модулю проекции |p_ZQ′′| на OZ ось второй производной по tвремени вектора p_Qдипольногоэлектрического момента Q заряда, поскольку этот Q заряд двигается только по OZ оси; e_r -орт в сферической системе координат, направленный по r радиусу-вектору ,направленного в произвольную M точку пространства, в которой определяется поле электромагнитнойволны, и совпадающий по направлению с вектором SПойнтинга.

Орт (рис.9.12) e_rв сферической системе координати орты e_θ, e_φ образуют правовинтовуюсистему, поэтому имеет место следующее выражение: e_r = [e_θ, e_φ]. (9.94)Мощность(рис.9.12) P излучения, т.е. количествоэнергии, переносимой электромагнитнойволной за единицу времени в данный момент t времени через всю сферическуюповерхность F площадью, с учётом направления вектора SПойнтинга электромагнитнойволны по (9.93) e_r орту и перпендикулярности этого вектора SПойнтинга элементарной dF площадки в сферической системе координат, равна (9.47) следующему потоку Ф вектора SПойнтинга через эту сферическуюповерхность F площадью: P = Ф = ∫SdF= ∫e_r(p_Q′′sinθ_dF/4πr)²(1/εε₀v ³)e_rr²sinθ_dF dθ dφ =

F F

π 2π π 2π

= [(p_Q′′)²/16π²εε₀v³] ∫sin³θ_dFdθ ∫dφ = - [(p_Q′′)²/16π²εε₀v³] ∫(1 - cos²θ_dF)dcosθ_dF ∫dφ =

0 0 0 0

π π

= - [(p_Q′′)²/16π²εε₀v³][(cosθ_dF)| - (cos³θ_dF/3)|]2π = - [(p_Q′′)²/16π²εε₀v³][-2 - (-2/3)]2π = 0 0

= - [(p_Q′′)²/8πεε₀v³](- 4/3) = (p_Q′′)²/6πεε₀v³, (9.95)

т.е. количествоэнергии, переносимой электромагнитнойволной через всю сферическую поверхность F площадью за единицу времени в данный момент t времени при (9.74) равенстве нулю модуля a = d²y/dt² вектора a ускорения движения Q заряда, равна нулю.

Однако это не выполняется при движении зарядов с релятивистскимискоростями, что наблюдается в эффекте Вавилова - Черенкова.

Мощность(рис.9.12) P излучения, т.е. количествоэнергии, переносимой электромагнитнойволной за единицувремени в данный момент t времени через всю сферическую поверхность F площадью, вызванное колеблющимся с ωциклическойчастотой (рис.9.10) по

OZ оси координат электрическим диполем, определяется подстановкой (9.89), (9.90) проекцийE_θ, H_φ на направление соответственно e_φ, e_θ ортов в сферической системе координат векторов E, H напряжённостей электрическогои магнитногополя электромагнитнойволны в произвольной

M точке пространства в (9.95), вследствие чего выражение Pмощностиизлучения колеблющимся с

ωциклическойчастотой электрическим диполем имеет следующий вид:

P = Ф = ∫SdF=

F

∫[e_θ [-(ω²p_Zmsinθ /4πεε₀rv²)cos[ωt -(2πr/λ)], e_φ [-(ω²p_Zm sinθ /4πrv) cos [ωt -(2πr/λ)]]e_rr²sinθ_dF dθ dφ =

F

= ∫[e_r[(ω⁴p_Zm ²sin²θ/16π²εε₀ r²v³)cos²[ωt - (2πr/λ)]e_rr²sinθ_dF dθ dφ =

F

π 2π

= (ω⁴p_Zm ²cos²[ωt - (2πr/λ)]/16π²εε₀ v³) ∫sin³θ_dFdθ ∫dφ = ω⁴p_Zm ²cos²[ωt - (2πr/λ)]/6πεε₀v³. (9.97) 0 0

Среднее значение <P> (рис. 9.12) мощности P излучения, т.е. количествоэнергии, переносимой в среднем за Δt интервалвремени электромагнитнойволной через всю сферическую поверхность F площадью r радиуса, вызванное колеблющимся с ωциклическойчастотой электрическим диполем в волновойзоне этого электрического диполя, т.е. с r радиусом сферической поверхности F площадьюмного большим (рис.9.10) расстояния l_m между зарядами q₊ и q_-, которые они имеют в начальный t₀ = 0 момент времени, с учётом (9.97) имеет следующий вид:

Δt <Р> = ∫{ω⁴p_Zm ²cos²[ωt - (2πr/λ)]/6πεε₀v³}dt/Δt = ω⁴p_m ²/12πεε₀v³. (9.98)

0

Согласно (9.98)среднее значение <P>мощностиP излучения пропорционально четвёртойстепени ωциклическойчастоты колебаний электрическогодиполя, поэтому для эффективного излучения электромагнитныхволн используют источники в высокочастотном диапазоне спектра электромагнитного излучения.

Явления отражения и прохождения электромагнитной волны на плоской границе раздела двух сред. Закон Снеллиуса. Скин - эффект для плоской электромагнитной волны

среду с n_д2 показателем преломления, электромагнитная волначастично отражается и имеет направление вектора S′ плотности потока энергии или векторПойнтинга, совпадающее с 1′ лучом, а такжечастично преломляется и имеет направление вектора S′′ плотности потока энергии или векторПойнтинга, совпадающее с 2 лучом . В среде с n_д1 показателем преломленияна падающиевекторыE₀и H₀ напряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей накладываютсяотражённыевекторыE_отри H_отр напряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей электромагнитной волны. В среде с n_д2 показателем преломленияимеются только преломлённыевекторыE_пр, H_пр напряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей.

Падающие E₀, H₀, отражённые E_отр, H_отри преломлённые E_пр, H_пр векторынапряжённостейсоответственно электрического и магнитногополей электромагнитной волныимеют векторы тангенциальныхсоставляющих E₀^τ, H ^τ₀,E ^τ_отр, H ^τ_отр, E ^τ_пр, H ^τ_пр, которые параллельны AB границе,и векторы нормальныхсоставляющих E ⁿ₀, H ⁿ₀ ,E ⁿ_отр, H ⁿ_отр , E ⁿ_пр, H ⁿ_пр, которые перпендикулярны AB границе.

Согласно (5.90) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" при переходе вектора

E напряжённости электрическогополя через границу диэлектриков с различными диэлектрическимипроницаемостями ε₁ и ε₂ при отсутствии на этой границе свободныхq зарядов вектортангенциальных E_τсоставляющих напряжённости E электрическогополя не меняется. С учётом наличия в среде с n_д1 показателем преломлениявекторов падающих E₀^τ и отражённых E ^τ_отр тангенциальныхсоставляющих вектора E₁ напряжённостиэлектрического поля электромагнитной волны, а также с учётом существования в среде с n_д2 показателем преломлениятолько вектора преломлённой E ^τ_пр тангенциальнойсоставляющей вектора E₂ напряжённостиэлектрического поля выражение (5.90) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" для связи тангенциальныхсоставляющих E_τ векторов E₁ и E₂ напряжённости электрическогополяэлектромагнитной волнына границе раздела двух диэлектриков принимает следующий вид: E₀^τ + E ^τ_отр =E ^τ_пр.(9.100) Согласно (7.132) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" векторы тангенциальных H_1τ и H_2τ составляющихнапряжённости H магнитного поля на границе магнетиковсμ₁ и μ₂ магнитными проницаемостями сохраняют своё направлениеи модульпри условии отсутствиявектора

j плотности макроскопических или токов проводимостина поверхностигранице раздела этих магнетиков. Это справедливо в электромагнитной волне длявекторовпадающих H₀^τ и отражённых H ^τ_отр тангенциальныхсоставляющих вектора H₁ напряжённостимагнитногополя в среде с n_д1 показателем преломленияивекторомпреломлённой H ^τ_пр тангенциальнойсоставляющей вектора H₂ напряжённостимагнитногополя в среде с n_д2показателемпреломления, вследствие чего выражение (7.132) из раздела 7.2 "Магнитное поле в веществе" для связи Н_τ тангенциальныхсоставляющих векторов H₁ и H₂ напряжённости магнитногополяэлектромагнитной волнына границе раздела двух магнетиков принимает следующий вид: H₀^τ + H ^τ_отр =H ^τ_пр .(9.101) Согласно (5.94) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" при переходе через границу диэлектриков с различными диэлектрическимипроницаемостями ε₁ и ε₂ при отсутствии на этой границе свободных

q зарядов вектор нормальной E_nсоставляющей вектораE напряжённости электрическогополя претерпевает разрыв. Это справедливо в электромагнитной волне длявекторовE ⁿ₀, E ⁿ_отр падающих, отражённых нормальныхсоставляющих векторовE₁ напряжённостей электрическогополя в среде с n_д1показателем преломления,ивектораE ⁿ_пр преломлённойнормальнойсоставляющейвекторовE₂ напряжённости электрическогополя в с