Расчет сопротивления участка цепи

Задача 11.5.Вычислите сопротивление участка цепи, изображенного на рис. 11.17. Значения сопротивлений проводников в омах указаны на рисунке. Все значения считать точными.

Рис. 11.17

Решение.Будем решать задачу последовательно.

1. Вычислим сопротивление участка I. Согласно формуле (11.3):

R₁ = 1 Ом + 2 Ом + 1 Ом = 4 Ом.

2. Участок II представляет собой два сопротивления: 4 Ом и R₁ = 4 Ом, соединенные параллельно. Согласно формуле (11.7):

= 2 Ом.

3. Участок III представляет собой три последовательно соединенных со­противления: 5 Ом, R₂ = 2 Ом и 7 Ом. Согласно формуле (11.3):

R_общ = 5 Ом + 2 Ом + 7 Ом = 14 Ом.

Ответ: R_общ = 14 Ом.

СТОП! Решите самостоятельно: А6, В19–В21, С11, С13.

Задача 11.6. Определите сопротивление R показанной на рис. 11.18 цепи, если сопротивление каждого звена R₀.

R0	а б Рис. 11.18 Рис. 11.19
R = ?

Решение. Непосредственно разбить данную схему на участки, состоящие только из последовательно соединенных или только из параллельно соединенных проводников не получится.

Рис. 11.20

Перерисуем нашу схему в виде, показанном на рис. 11.19,а. Из симметрии схемы очевидно, что потенциалы точек D и D1 равны: . А значит, ток по проводнику, соединяющему эти точки не течет. Но тогда этот проводник можно удалить, и мы получим схему (11.19,б). Соответствующая эквивалентная схема представлена на рис. 11.20. Сопротивления такого участка подсчитать уже легко: , R2 = R0 + R0 + R0 = 3R0, .

Рис. 11.21   Рис. 11.22

Читатель: По-моему, в данной схеме из соображений симметрии равны потенциалы точек В₁, В₂ и В₃ (рис. 11.21)!

Автор: Да, Вы правы.

Читатель: Но тогда их можно соединить, и эквивалентная схема будет иметь вид, показанный на рис. 11.22.

Автор: Это верно! Попробуйте подсчитать сопротивление Вашей эквивалентной схемы.

Читатель: Тогда

.

Автор: Как видите, в данном случае точки с одинаковыми потенциалами можно с одинаковым успехом как соединить, так и разъединить. Результат от этого не изменится.

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В24, В25, С14, С18–С20.

Задача 11.7. Вычислить сопротивление проволочного тетраэдра, к двум вершинам которого подведено напряжение. Сопротивление каждого ребра тетраэдра – r.

Рис. 11.23

схема совершенно сим­метрична относительно этого сече­ния и, следовательно, точки 3 и 4 находятся в физически «равноправ­ном» положении. Поэтому можно утверждать, что по ребрам 13 и 14 течет одинаковый ток, а следовательно, потенциалы точек 3 и 4 равны. В самом деле, запишем закон Ома для участков цепи 13 и 14, получим

j₁ – j₃ = Ir, j₁ – j₄ = Ir .

Отсюда j₃ = j₄.

2. Поскольку j₃ = j₄, ток через ребро 34, равен нулю:

(закон Ома для участка 34).

3. Если удалить ребро 34, то токи в остальных проводниках от это­го нисколько не изменятся, а значит, не изменятся и потенциалы всех узлов схемы. Поэтому схема после удаления ребра 34 останется эквивалентной исходной, а её сопротивление будет таким же, как у исходной схемы (рис. 11.24,а).

а) б)

Рис. 11.24

4. Перерисуем схему на рис. 11.24,а в более привычном виде, показанном на рис. 11.24,б, и найдем её сопротивление R:

.

Читатель: Если потенциалы точек 3 и 4 равны, то нельзя ли их сое­динить в одну? Ведь токи в остальных проводниках от этого не долж­ны измениться, а значит, такое преобразование не изменит полного сопротивления участка цепи.

Автор: Так сделать можно! Покажем, что общее сопротивление участка, рассчитанное с помощью такого преобразования схемы, будет также рав­но r/2 (рис. 11.25,а).

Преобразуем схему к виду, показанному на рис. 11.25,б, тогда

.

а) б)

Рис. 11.25

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В26, В27, С22–С24.

Задача 11.8. К источнику тока с напряжением U = 12,0 В присоединены две лампочки (рис. 11.26). Сопротивления участков цепи r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r = 1,50 Ом. Сопротивления лампочек R₁ = R₂ = = R = 36,0 Ом. Найти напряжение на каждой лампочке.

U = 12,0 В r1 = r2 = r3 = r4 = r = 1,50 Ом R1 = R2 = R = 36,0 Ом	Рис. 11.26
U1 = ? U2 = ?

Решение. Сначала найдем общее сопротивление .

Рис. 11.27

Как видно из рис. 11.27:

= 1,50 + 1,50 + 36,0 = 39,0 Ом;

18,72 Ом;

= 1,50 + 1,50 + 18,72 » 21,72 Ом.

Вычислим силу тока I₀ в неразветвленной части цепи

0,552 А.

Пусть U₁ – искомое напряжение на лампе R₁, тогда справедливо

U = I₀r₁ + U₁ + I₀r₃ Þ U₁ = U – I₀(r₁ + r₃) = U – I₀×2r =

= 12,0 В – 0,552 А × 2 × 1,50 » 10,34 В » 10,3 В.

Рассмотрим три последовательно соединенных сопротивления: r₂, R₂ и r₄. Их общее сопротивление = 39,0 Ом, тогда сила тока на этом участке равна , а искомое напряжение на лампе R₂

9,54 В.

Ответ: U₁ » 10,3 В; U₂» 9,54 В.

СТОП! Решите самостоятельно: В28, С25, С26.

Задача 11.9. Если на вход электрической цепи (рис. 11.28) подано напряжение U₁ = 100 В, то напряжение на выходе U₃ = 40 В. При этом через резистор R₂ идет ток I₂ = 1 А. Если на выход цепи подать напряжение = 60 В, то напряжение на входе будет = = 15 В. Определить величины сопротивлений R₁, R₂, R₃. Все значения точные.

U1 = 100 В, U3 = 40 В I2 = 1 А = 15 В, = 60 В	Рис. 11.28
R1 = ? R2 = ? R3 = ?
Рис. 11.29	Решение. В первом случае схема имеет вид, показанный на рис. 11.29. Здесь , (1) U3 = I2R3. (2)

Из (2) находим 40 Ом.

Из (1): 60 Ом.

Во втором случае схема имеет вид, показанный на рис. 11.30. Тогда , (3) , (4) Из (3) и (4) находим:

Рис. 11.30

20 Ом.

Ответ: R₁ = 20 Ом; R₂ = 60 Ом; R₃ = 40 Ом.

СТОП! Решите самостоятельно: С27–С29.

Мостик без тока

Задача 11.10. В цепи на рис. 11.31 R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = = 3 Ом. Найти сопротивление R₄, зная, что на участке CD нет тока. Все значения точные.

	Рис. 11.31
R1 = 1 Ом R2 = 2 Ом R3 = 3 Ом
R4 = ?

Решение. Поскольку через сопротивление R ток не течет, его можно удалить, тогда схема примет вид, показанный на рис. 11.32.

Мы получили две параллельно соединенные ветви, для каждой из них запишем закон Ома:

Рис. 11.32

, (1) . (2)

Поскольку через сопротивление R ток не течет, то потенциалы точек С и D равны, а значит, равны напряжения на сопротивлениях R₁ и R₃:

. (11.9)

Из формулы (11.9) получаем:

6 Ом.

Ответ: 6 Ом.

СТОП! Решите самостоятельно: В29, В30, С30, D4.

Мостик с током

Читатель: Если потенциалы двух точек схемыравны между собой, то следует ли из этого, что ток между этими точками не течет?

Автор:Нет! Нe следует, если между этими точками включен провод­ник с нулевым сопротивлением.

Рассмотрим соединительный провод 132 с нулевым сопротивлением (рис. 11.33,а): по закону Ома j₁ – j₂ = I × 0 Þ j₁ = j₂. Ток через сопротивление R₁равен . Следовательно, весь ток, поступивший в точку 1, пойдет по соеди­нительному проводу 132, хотя разность потенциалов между точками 1 и 2 равна нулю.

а) б)

Рис. 11.33

Читатель: Если потенциалы двух точек равны, то можно ли удалить из схемы на рис. 11.33а проводник, соединяющий эти точки, не изменив при этом токи во всех остальных проводниках участка?

Автор: Вообще говоря, нет! Если в схеме на рис. 11.33,а удалить соеди­нительный провод 132, соединяющий точки с одинаковыми потенциала­ми 1 и 2, то полученная схема (11.33,б) будет не эквивалентна! Ведь в этом случае через проводник R₁ пойдет отличный от нуля ток и потен­циалы точек 1 и 2 будут уже не равны между собой!

Проводник, включенный между двумя точками с одинаковыми потенциалами, можно смело удалять только в случае, когда его сопротивление отлично от нуля.

Если же речь идет о соединительном проводе с нулевым сопротивле­нием, то прежде чем его удалять, надо убедиться, что и после его удаления потенциалы тех точек, между которыми он был включен, останутся равными друг другу. В случае на рис. 11.33,а это не так.

Задача 11.11.Какой ток идет через амперметр (рис. 11.34), если R₁= R₄ = R,а R₂ = R₃ = 3R? К цепи приложено напряжение U. Сопротивление амперметра можно считать пренебрежимо малым.

R1= R4 = R R2 = R3 = 3R U	Рис. 11.34
I = ?

Решение.

Читатель: Если сопротивление амперметра практически равно нулю, то j_А = j_В, следовательно, ток через амперметр не течет, и его можно удалить из схемы.

Автор: Но мы же с Вами только что выяснили, что если проводник с нулевым сопротивлением соединяет две точки с одинаковым потенциалом, то из этогововсе не следует, что через данный проводник не идет ток. Может быть, идет, а может – и нет. Надо разобраться. А удалять проводник из схемы можно только в том случае, если после удаления проводника потенциалы точек, которые он соединял, по-прежнему останутся равными друг другу. А так ли это в условии нашей задачи?

Читатель: Это было бы так, если бы выполнялось равенство (формула (11.9)). Но в нашем случае , а , значит, после удаления амперметра равенство j_А = j_В нарушается.

Автор: То есть, удалив амперметр, мы заменим нашу схему не неэквивалентную. Но вот соединить точки А и В в одну нам ничто не мешает! Тогда мы получим схему, показанную на рис. 11.35.

Рис. 11.35

Теперь заметим, что

,

а значит, напряжения на участках R₁₃ и R₂₄ равны между собой:

.

Тогда ток через сопротивление R₁ равен

,

а ток через сопротивление R₂ равен

.

Читатель: Получается, что в точку А слева втекает ток , а вытекает вправо уже (см. рис. 11.34). Куда же девается разница I₁ – I₂?

Автор: Разнице просто некуда больше деваться, как уйти вниз через амперметр: .

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: В31, С31, D6.