Инерционное (апериодическое) звено

Инерционным (апериодическим) звеном 1 – го порядка называется такое звено, связь между выходом и входом определяется линейным заданным уравнением первого порядка вида

, (2.22)

где Т – постоянная времени инерционного звена, обусловленная наличием

массы, момента инерции, индуктивности ёмкости и т.д.;

k – коэффициент усиления (или передачи).

При линеаризации уравнений и соответствующем упрощении математического описания примерами инерционных звеньев могут служить многие объекты: генераторы, двигатели, электрические печи, а также исполнительные механизмы, электронные усилители, проходные четырёхполюсники, содержащие индуктивности или ёмкости.

Применяя к (2.22) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим операторное уравнение

, (2.23)

Передаточная функция инерционного звена первого порядка на основании (2.23) запишется как

, (2.24)

Решение уравнений (2.23) или (2.24) может быть представлено в виде

(2.25)

(рисунок 2.9, а).

а) б)

Рисунок 2.9 – Переходная функция (а) и изображение (б)

инерционного звена

Изображение инерционного звена на структурных схемах показано на рисунке 2.9,б.

Частотная функция звена первого порядка получается путём замены р на jω в выражении (2.24)

, (2.26)

или (2.27)

где

(2.28)

Частотный годограф и частотные характеристики инерционного звена рассчитаны в таблице 2.1 и показаны на рисунке 2.10,а и б,в . Таким образом, АФЧХ инерционного звена представляет собой полуокружность радиуса с центром окружности, отстоящим от начала координат на , и при изменении частоты от до вектор поворачивает на угол, равный .

Рисунок 2.10

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид

(2.29)

где

Точное построение L(ω) заключается в последовательном определении значений L(ω) при различных частотах ω (таблица 2.1 и рисунок 2.11). Построение ЛАХ обычно упрощают, заменяя точную L^’(ω) асимптотами. Первая асимптота характеризует при малых частотах, когда величиной ω²Т² можно пренебречь, т.е. принимают

(2.30)

Эта асимптота не зависит от частоты. Вторая асимптота характеризует при больших частотах, когда ω²Т² »1,

т.е. принимают

(2.31)

Эта асимптота зависит от частоты. Если принять приращение частоты на одну декаду (ω₂=10 ω₁), то амплитуда изменится на величину

Следовательно, для второй асимптоты известен наклон, характеризующий убывание амплитуды на 1 лог при возрастании частоты на 1дек (она проходит под углом -45° в том масштабе, который дан в п. 1.3). Точка сопряжения обеих асимптот будет удовлетворять равенствам (2.30) и (2.31)

откуда

Величина ω₀ определяется постоянной времени инерционного звена первого порядка и называется сопрягающей частотой.

Таблица 2.1

P(ω)	k	k/2
Q(ω)		-k/2
A(ω)	k
L(ω)	lg k
φ(ω)	0o	-45o	-90o

На основании изложенного можно сформулировать следующий порядок построения ЛАЧХ инерционного звена первого порядка, имеющего коэффициент усиления k: 1) определяется логарифм амплитуды частотной функции в логах; 2) рассчитывается сопрягающая частота в декадах; 3) через проводится горизонтальная прямая до точки сопрягающей частоты; 4) проводится прямая с наклоном -1 после точки сопрягающей частоты от конца горизонтального участка ЛАЧХ (рисунок 2.11). Максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ L₂ от действительной L₁ равно 0,15 лог при частоте ω₀ и незначительно при других частотах.

Рисунок 2.11 – ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного звена первого порядка

Логарифмическая фазо-частотная характеристика инерционного звена первого порядка

Для сопрягающей частоты фаза

Логарифмическую фазо-частотную характеристику целесообразно строить по шаблонам или по точкам относительно ординаты сопрягающей частоты (таблица 2.1).

Примерами инерционного звена первого порядка являются: пассивные четырёхполюсники, состоящие из сопротивления и индуктивности или из сопротивления и ёмкости; термопара, генераторы постоянного и переменного тока; электрические двигатели (если вход – ток якоря, а выход – угловая скорость) и т.д., если уравнения можно представить в виде (2.22).