Приложения определенного интеграла

Вначале рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая геометрического приложения определенного интеграла.

Случай 1. Для неотрицательной непрерывной функции y = f (x), заданной на отрезке [a, b], площадь криволинейной трапеции, огра­ниченной прямыми x = a, x = b, осью Ох и графиком функции y = f (x) (заштрихована на рис. 15), определяется формулой:

Рис. 15.

ПРИМЕР: Найти площадь криволинейной трапеции, ограничен­ной графиком функции y = x², заданной на отрезке [0, 1].

Искомая площадь S будет равна:

Случай 2. Если на отрезке [a, b] заданы две непрерывные и неотрица­тельные функции f (x) и g (x), причем всюду на отрезке выполняется неравенство f (x) ≤ g (x), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками этих функций (заштрихована на рис. 16), будет определяться формулой:

Рис. 16.

ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y₁= 1 – x²; y₂= x²+ 2, x = 0, x = 1.

Поскольку на заданном отрезке интегрирования [0, 1] выполня­ется неравенство y₂ > y₁, искомая площадь будет равна:

Случай 3.Требуется найти площадь фигуры, ограниченной только графиками функций f (x) и g (x). Для решения этой задачи обычно используется формула случая 2. При этом в качестве пределов интегрирования используются корни уравнения f (x) = g (x), а на первое место в формуле случая 2 ставится та функция, которая не превышает другую на отрезке, определяемом найденными пределами интегрирования. Итак, площадь фигуры, заштрихованной на рис. 17, будет определяться формулой:

Рис. 17.

ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y₁ = x² и y₂ = 2 – x².

Вначале найдем пределы интегрирования, решив уравнение y₁ = y₂, или x² = 2 – x². В результате получим: a = - 1, b = 1. Поскольку на отрезке [-1, 1] выполняется неравенство y₂ ≥ y₁, искомую площадь найдем по формуле:

Теперь рассмотрим одно из экономических приложений определенного интеграла. Пусть функция f (t) задает производитель­ность труда в момент времени t, тогда объем продукции, выпущенный за время T, будет определяться формулой:

ПРИМЕР: Найти объем продукции, произведенной за 3 часа, если производительность труда определяется функцией .

Этот объем равен: