Принципы интегрирования рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют так называемые рациональные функции, которые в самом общем случае можно пред­ставить в виде дроби:

где и многочлены или целые рациональные функции степеней m и n, соответственно. Если степень многочлена в числителе больше или равна сте­пени многочлена в знаменателе, т.е. m ³ n, то, выполнив деление, можно полу­чить:

где многочлен степени k, а степень многочлена заве­до­мо мень­ше степени многочлена т.е. l < n.

Таким образом, задача интегрирования «неправильной» дробно-рацио­нальной функции всегда может быть сведена к задаче интегрирования много­члена, т.е. целой рациональной функции, а также к задаче интегрирования «пра­вильной» дробно-рациональной функции.

Очевидно, что первая из них, т.е. задача интегрирования многочлена степени k, сводится к (k + 1) – кратному применению табличного интеграла 1. Для решения второй задачи необходимо предварительно разложить правиль­ную дробно-рациональную функцию на сумму более простых, так называемых, эле­ментарных дробей.

В курсе высшей алгебры доказывается, что любая правильная дробно-рациональная функция может быть единственным образом представлена в сле­дующем виде:

(*)

 

где α – любой действительный корень кратности r уравнения , (x2 + 2px + q) – неразложимый на линейные множители квадратный трехчлен, имеющий кратность t и также встречающийся при разложении на множители многочлена , наконец, - не­которые, неизвестные числовые коэффициенты.

Чтобы определить значения этих коэффициентов, умножают обе части равенства (*) на . Поскольку равенство между много­членом и многочленом, который получится в числителе правой части после приведения подобных, справедливо для всех x, кроме действительных корней многочлена , то коэффициенты, стоя­щие при одинаковых степенях x в левом и правом многочленах, равны между собой. Таким образом, получают систему уравнений первой степени, в результате решения которой и находят искомые числовые ко­эффициенты. Изложенный метод носит название метода неопределенных коэф­фициентов.

ПРИМЕР: Разложить функцию на элементарные дроби.

Поскольку: , заданную дроб­но-рациональную функцию можно представить в виде суммы элемен­тар­ных дробей вида:

 

Умножая обе части последнего равенства на знаменатель исходной дро­би, после приведения подобных получим:

 

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и ле­вой частях последнего равенства, получим систему уравнений вида:

 

Решив ее, найдем: А = В = 1/3; С = - 1/3; D = - 1. Следова­тельно, искомое разложение имеет вид:

 

 

Как следует из рассмотрения формулы (*), после разло­жения правильной дробно-рациональной функции на сумму элементарных дро­бей задача ее интегрирования сводится к вычислению интегралов следующих четырех основных типов:

 

1). 2).

3). 4).

 

Первые два интеграла вычисляются сведением к табличным с помощью подстановки: t = x – α. В двух последних интегралах квадратный трехчлен, сто­ящий в знаменателе, действительных корней не имеет, т.к.: p2 – q < 0. Поскольку интегралы четвертого типа довольно редко встречаются на практике, а их вычисление связано с определенными трудностями, мы ограничимся только вычислением интеграла третьего типа.

Выделим из трехчлена, стоящего в знаменателе подынтеграль­ной функ­ции, полный квадрат: x2 + 2px + q = (x + p)2 + q – p2. Это выделение подска­зывает подстановку: t = x + p; x = t – p; dx = dt.Обозначив q – p2 = h > 0, получим:

 

 

Первый из этих интегралов вычисляется непосред­ствен­но:

 

 

Второй – находится по форму­ле 13 таблицы интегралов:

 

 

Поэтому окончательно можно записать:

 

 

ПРИМЕР: Найти интеграл:

Используя результаты разложения подынтегральной функции на элементарные дроби, полученные в предыдущем примере этого подраздела, можно записать:

 

 

Для вычисления первых двух интегралов используем замену t = x – 1, x = t + 1, dx = dt и получим:

Для вычисления последнего, третьего интеграла воспользуемся полученной выше формулой, подставив в нее следующие числовые значения коэффициентов: А = 1, В = 3, p = 1/2 и q = 1, и получим:

 

 

Учитывая числовые коэффициенты перед этими тремя интегралами, окончательно получим:

 

 








Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 818;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.013 сек.