Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных

Для того чтобы функция z = f (x, y) непрерывная в точке М0 была дифференцируемой в этой точке, достаточно, чтобы эта функция имела конечные частные производные в этой точке и эти частные производные были бы непрерывны в точке М0.

ПРИМЕР: Для функции частные производные существуют во всех точках и соответственно равны: Поскольку они непрерывны во всех точках, то данная функция будет дифференцируемой во всех этих точках.

 

Градиентом функции двух переменныхz = f (x, y) называется вектор с координатами , т.е.:

Вектор градиента в данной точке показывает направление максимальной скорости возрастания функциив этой точке. Вторым важным свойством вектора градиента является следующее: вектор градиента в данной точке перпендикулярен касательной к линии уровня, проведенной через эту точку (рис. 21):

 

Рис. 21.

 

ПРИМЕР:Найдите координаты вектора градиента функции в точке М (2, 2).

Найдем значения частных производных заданной функции в заданной точке:

 

Таким образом, можно записать:

 

 

Частные производные и полные дифференциалы

Второго порядка

 

Пусть имеется функция двух переменных z = f (x, y), которая в каждой точке своей области определения Х имеет частные производные и . Эти производные (назовем их производными первого порядка), в свою очередь можно рассматривать как некоторые функции двух переменных и .

Частными производными второго порядка функции z = f (x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка этой функции. Они могут иметь вид:

 

 

Первые две из них принято называть повторными или просто вторыми частными производными функции z = f (x, y), а две других называются смешанными частными производными.

 

Если функция z = f (x, y) непрерывна на множестве Х и имеет на этом множестве непрерывные смешанные производные, то значения смешанных производных не зависят от порядка их вычисления, т.е.

 

Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y) назы­ва­ет­ся величина:

 

   

 

Заметим, что по своей структуре дифференциал второго порядка функции двух переменных представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов, т.е. может быть записан в виде:

 

 








Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1549;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.