Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных
Для того чтобы функция z = f (x, y) непрерывная в точке М0 была дифференцируемой в этой точке, достаточно, чтобы эта функция имела конечные частные производные в этой точке и эти частные производные были бы непрерывны в точке М0. |
ПРИМЕР: Для функции частные производные существуют во всех точках и соответственно равны: Поскольку они непрерывны во всех точках, то данная функция будет дифференцируемой во всех этих точках.
Градиентом функции двух переменныхz = f (x, y) называется вектор с координатами , т.е.:
Вектор градиента в данной точке показывает направление максимальной скорости возрастания функциив этой точке. Вторым важным свойством вектора градиента является следующее: вектор градиента в данной точке перпендикулярен касательной к линии уровня, проведенной через эту точку (рис. 21):
Рис. 21.
ПРИМЕР:Найдите координаты вектора градиента функции в точке М (2, 2).
Найдем значения частных производных заданной функции в заданной точке:
Таким образом, можно записать:
Частные производные и полные дифференциалы
Второго порядка
Пусть имеется функция двух переменных z = f (x, y), которая в каждой точке своей области определения Х имеет частные производные и . Эти производные (назовем их производными первого порядка), в свою очередь можно рассматривать как некоторые функции двух переменных и .
Частными производными второго порядка функции z = f (x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка этой функции. Они могут иметь вид:
Первые две из них принято называть повторными или просто вторыми частными производными функции z = f (x, y), а две других называются смешанными частными производными.
Если функция z = f (x, y) непрерывна на множестве Х и имеет на этом множестве непрерывные смешанные производные, то значения смешанных производных не зависят от порядка их вычисления, т.е. |
Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y) называется величина:
Заметим, что по своей структуре дифференциал второго порядка функции двух переменных представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов, т.е. может быть записан в виде:
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1534;