Признак сравнения рядов

Если для всех n Î N выполняется неравенство an £ bn, то, если сходится ряд , то сходится и ряд , если же расходится ряд , то расходится и ряд .

 

ПРИМЕРЫ:

1. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а геометрический ряд сходится, т.к. , то сходится и исходный ряд (по признаку сравнения рядов).

2. Исследовать сходимость ряда . Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство , а гармонический ряд расходится, то по признаку сравнения рядов будет расходиться и исходный ряд.

 

Признак Даламбера

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения . Тогда: 1). Если p < 1, то ряд сходится. 2). Если p > 1, то ряд расходится. 3). Если p = 1, вопрос о сходимости ряда требует дополнительных исследований.

 

ПРИМЕРЫ:

1. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел:

 

,

Следовательно, на основании признака Даламбера ряд сходится.

2. Исследуйте сходимость ряда . Найдем предел:

.

Следовательно, на основании признака Даламбера нельзя сделать вывода о сходимости данного ряда, и требуется проведение дополнительных исследований.

 

Знакочередующимся называется числовой ряд, если его члены поочередно являются положительными и отрицательными, т.е. если он имеет вид: , где для всех n Î N Сn > 0.

Для этих числовых рядов существует признак сходимости, который является необходимым и достаточным.

 

Признак Лейбница

Если для членов знакочередующегося ряда выполняется неравенство Cn ³ Cn+1 и существует и равен нулю предел , то ряд этот сходится, а его сумма S £ C1.

 

ПРИМЕРЫ:

1. Исследуйте сходимость ряда .

Для этого ряда выполняется неравенство , а также равенство , поэтому на основании признака Лейбница заключаем, что данный ряд сходится.

 

2. Исследуйте сходимость ряда .

Убедившись, что для данного ряда выполняется неравенство, противоположное требуемому: , а также, что

, можно сделать вывод, что данный ряд расходится.

 

Знакопеременным называется числовой ряд, любой член которого может быть как положительным, так и отрицательным.

 








Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 786;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.