ЗАКОН БОЙЛЯ–МАРИОТТА

Экспериментально установлено, что для газов в достаточно широком диапазоне температур справедлив закон:

При постоянной температуре для данной массы газа произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

pV = const.

Этот закон назван законом Бойля–Мариотта. Он описывает изотермический процесс.

Процессы, при которых температура газа остается неизменной, называются изотермическими.

Заметим, что при очень низких температурах и при очень высоких давлениях этот закон не выполняется.

Задача 2.1. Найти давление в цилиндре (рис. 2.1,а), если поршень сместить: 1) на l/2 влево; 2) на l/2 вправо (рис. 2.1,б). Начальное давление газа р₀.

р0	Рис. 2.1
р1 = ? р2 = ?

Решение. При неподвижном поршне V₀ = lS, где S – площадь основания цилиндра.

1. При сдвиге поршня влево (рис. 2.1,б) р₀V₀ = р₁V₁, V₁ = S. Тогда p₀lS = р₁ = 2р₀.

2. При сдвиге поршня вправо V₂ = . Тогда

р₀V₀ = р₂V₂ Þ p₀lS = .

Ответ: 1) р₁ = 2р₀; 2) .

СТОП! Решите самостоятельно: А1–А5, А7.

Задача 2.2. В горизонтально расположенном цилиндре с площадью основания S, заполненном воздухом при атмосферном давлении р₀, на расстоянии l от дна находится поршень массой т, плотно прилегающий к стенкам цилиндра (рис. 2.2,а). Поршень может без трения перемещаться по цилиндру. На каком расстоянии от дна сосуда будет находиться поршень, если сосуд расположить: 1) вертикально днищем вниз (рис. 2.2,б); б) вертикально днищем вверх (рис. 2.2,в); 3) под углом a к вертикали днищем вниз (рис. 2.2,г)?

F₀ + mg – F₁ = 0,

где F₁ = р₁S, F₀ = p₀S – силы давления воздуха снизу и сверху.

а б в г

Рис. 2.2

Согласно закону Бойля–Мариотта

р₀V₀ = р₁V₁ Þ p₀lS = p₁l₁S.

Получаем систему уравнений

Þ .

2. Рассуждая аналогично, получаем систему уравнений

.

3. В данном случае нам необходимо записать уравнение второго закона Ньютона в проекции на наклонную ось у¢, направленную вдоль оси цилиндра (см. рис. 2.2,г). Получим

.

Ответ: ; ; .

СТОП! Решите самостоятельно: В13, С2.

Задача 2.3. В горизонтально расположенном цилиндре с площадью основания S, заполненном воздухом при атмосферном давлении р₀, на расстоянии l от дна находится поршень массой т, плотно прилегающий к стенкам цилиндра (рис. 2.3,а). Сосуду сообщают ускорение а: 1) влево (рис. 2.3,б); 2) вправо (рис. 2.3,в). Найти давление воздуха в сосуде и расстояние от поршня до дна сосуда.

а б в

Рис. 2.3

Получаем систему уравнений

Þ .

2. По второму закону Ньютона в проекции на ось х₂: F₂ – F₀ = = та, а закон Бойля–Мариотта: p₀lS = p₂l₂S. Получаем систему уравнений

.

Ответ: 1) ; 2) .

СТОП! Решите самостоятельно: С13, С14, С17.

Задача 2.4. Два поршня площадями S₁ и S₂, скрепленные жестким стержнем длиной 2l, находятся в трубе (рис. 2.4) при давлении р₀. Определить: 1) каким должно быть давление воздуха между поршнями, чтобы они были неподвижны; 2) на сколько сместятся поршни и в каком направлении, если давление в трубе повысится до величины р₁ > р₀.

S1 S2 l р0 р1	Рис. 2.4
1) р = ? 2) х = ?

Решение. 1. Поскольку поршень неподвижен, то равнодействующая сил равна нулю: , , , , . В проекции на ось х второй закон Ньютона примет вид

р₀S₁ – pS₁ + pS₂ – p₀S₂ = 0 Þ p(S₂ – S₁) = p₀(S₂ – S₁).

Тогда р = р₀ (если S₂ – S₁ ¹ 0).

Чтобы система осталась в равновесии при повышении внешнего давления, необходимо, чтобы давление между поршнями стало таким же, как и снаружи.

2. Чтобы давление между поршнями повысилось, объем по закону Бойля–Мариотта должен уменьшиться, т.е. поршни должны сместиться влево (рис. 2.5). Тогда р₀V₀ = рV₁, где

V₀ = S₂l + S₁l, V₁ = S₂(l – x) + S₁(l + x).

Отсюда

(S₂l + S₁l)р₀ = р[S₂(l – x) + S₁(l + x)] =

= р[S₂l + S₁l – S₂x + S₁x].

Введем V₀ = S₂l + S₁l – начальный объем газа, тогда

V₀p₀ = p[V₀ – x(S₂ – S₁)] Þ V₀p₀ = pV₀ – px(S₂ – S₁) Þ

Þ px(S₂ – S₁) = V₀(p – p₀) Þ

Þ .

Ответ: 1) р = р₀; 2) .

Читатель: Если в последней формуле положить S₂ = S₁, то получим ноль в знаменателе. Что же получается: х ® ¥?! Как это понять?

Автор: Вспомним, с чего мы начинали решение задачи: Þ Þ p(S₂ – S₁) = p₀(S₂ – S₁), если S₂ – S₁ ¹ 0 Þ р = р₀, если S₂ – S₁ = 0, то это равенство примет вид р×0 = р₀×0, а оно верно при любом р. Это значит, что в трубе с постоянным сечением система будет в равновесии при любом внешнем давлении!

СТОП! Решите самостоятельно: С19–С21.

Поршневой насос

Задача 2.5. В сосуде объемом V при давлении р₀ находится газ, который начинают откачивать с помощью поршневого насоса с рабочей камерой объемом V₁ (рис. 2.6). Найти давление газа р_п после п ходов поршня.

V; V1; р0; п	Решение. Читатель: При п ходах поршня объем газа п раз увеличивается на объем V1, поэтому запишем уравнение Бойля–Мариотта в виде
рп = ?
Рис. 2.6	р0V = pn(V + nV1) Þ . Автор: К какой массе газа относится запись?

Читатель: К массе, которая была в сосуде.

Автор: Но ведь уже после первого хода часть этой массы уходит из системы: когда поршень начинает движение справа налево, он закрывает клапан А и открывает клапан В, через который газ и покидает систему. Масса газа меняется!

1-й ход: р₀V = p₁(V +V₁) (для исходной массы газа). Потом газ, находящийся в рабочей камере, уходит наружу, и в сосуде остается меньшая масса газа при давлении . Для этой оставшейся массы при последующем ходе справедливо р₁V = p₂(V+V₁), где р₂ – давление после 2-го рабочего хода и т.д.:

р2V = p3(V +V1)   р3V = p4(V +V1)   ………………….. рп–1V = pп(V +V1)

Ответ: .

СТОП! Решите самостоятельно: С5, С6, С39.