Философские основания математики.

Проект теоретической математики вызрел в недрах философии. Великая историческая заслуга древних философов состоит в том, что они заложили основу для теоретического разума. Элементы рациональности имели место в мифах, художественной деятельности, религиях многобожия и особенно в практическом опыте, но они существенно ограничивались игрой ценностного воображения, субъектной прагматикой, запретами религиозной веры. Первые философы взяли на себя тяжелый и опасный труд логической критики всего накопленного когнитивного материала. Особенно преуспели в деле такого очищения и прояснения греческие мудрецы. Их усилиями были сформированы нормы логического способа мышления и теоретические идеалы. Школа Пифагора выдвинула программную идею создания теоретической математики на основе натурфилософии чисел. Её обосновал Платон, разработав проект теоретической геометрии. Он же и предложил идею математизации науки (геометризация астрономии). Школа элеатов (Зенон) разработала прием логического доказательства в виде «доказательства от противного». Эту процедуру заимствовал Евклид и на ней выстроил теоретическую геометрию.

Союз математики и философии с некоторыми исключениями. Творческий диалог философов и математиков, начавшийся в античности, продолжился в средние века и новое время, просвещение внесло в него конфликтный диссонанс. Некоторые немецкие философы (Шеллинг, Гегель) перешли на язык диктата и стали навязывать свои схемы ученым, в том числе и математикам. Реакцией на такую стратегию стал позитивизм, резко сокративший роль философии в науке. Влияние позитивизма на ученых росло и на фоне советского опыта «внедрения» материалистической диалектики в науку, где превалировала идеология над познанием. И все же позитивистский нигилизм был преодолен и наступил новый этап союза философии и математики, где действуют общие нормы демократии. Весь корпус математических наук имеет безусловную самостоятельность, но на их высших этажах существуют философские основания. Речь идет об универсальных идеях и принципах, в обсуждении которых участвуют и философы. Возникли и более тесные формы связи. Так, «общество точной философии» реализует программу развития современной философии на базе математических идей и символической логики. Президентом этого общества является канадский философ М. Бунге, который полагает, что философская мысль может быть точной как качественно, так и количественно.

Методологическая дилемма: фундаментализм – социокультуризм.Обязательным пластом философских оснований математики является методология. Современный научный поиск выдвинул теорию познания на первый план и здесь самым важным стала тема осознания ведущих методов математической мысли. Плюрализм философии проявляется тут в виде наличия противоположных идей. Типичной оппозицией в современной методологии математики выступает «фундаментализм - социокультуризм». Речь идет о концепциях, включающих в себя целые комплексы принципов. Центральной проблемой для них стало соотношение объективного и субъективного в математическом познании.

Основная идея фундаментализма отдает приоритет объективной сущности. Именно она определяет возникновение и развитие математики, все содержание её теории воспроизводит строение этой скрытой и потусторонней реальности. Человек здесь является лишь воспринимающей инстанцией, главной целью которой выступает - не допустить того, чтобы субъект деформировал то, что идет от внешней сущности. Самые ранние варианты фундаментализма разработали античные философы. В пифагорейской школе сущностью выступили мировые числа, а точечная геометрия стала их человеческой картиной. У Платона геометрия является рациональным припоминанием разумной душой объективных пространственных фигур (многогранников). В учении Демокрита математика отражает конфигурацию атомов и их сочетаний. К античному списку форм сущности средние века добавили Бога. Сотворив упорядоченный и симметричный мир, Он тем самым определил предмет математического поиска. Так, немецкий математик Л. Кронекер (1823 - 1891) полагал, что натуральные числа сотворил Бог, все остальное в математике способен создать человек. Г. Кантор (1845 - 1918) верил в божественное происхождение бесконечных множеств. Для любого фундаменталиста естественно признание математики как системы объективных истин, единство которой задается не человечеством, а внешней сущностью.

Социокультуризм намного моложе фундаментализма. Речь идет о направлении, которое возникло в начале XX в. Данное учение является идейной противоположностью фундаментализма. Если последний связывает математику с каким-то объективным основанием, то социокультуризм всю математику центрирует на человеке как историческом и культурном субъекте. Здесь математика не открывает что-то внешнее, она изобретается искусными и талантливыми учеными. Эта субъективистская стратегия реализуется в самых различных формах и аспектах.

Один из вариантов социокультуризма предложил немецкий культуролог О. Шпенглер (1880 - 1936) в книге «Закат Европы». Он исходил из идеи существования множества радикально разных культур, каждая из которых проходит жизненный цикл из этапов рождения, расцвета, кризиса и увядания. Культурологический плюрализм и релятивизм Шпенглер распространил на науку, особо выделив в ней математику. Вполне логично возник вывод о том, что сколько было культур, столько и было специфических математик, разительно отличавшихся друг от друга. Единая математика – иллюзия, исторически реальны: древневавилонская, древнеиндийская, античная и современная западная математика. Все они отличны друг от друга, ибо основаны на разных мировоззренческих ценностях. Если вавилонские и индийские математики приняли образ бесконечности, то греческие математики вдохновлялись идеалом конечности. Евдокс и Архимед признавали очень большие числа, но у них нет бесконечно малого и бесконечно большого. Отрицание бесконечности заставило греков отвергнуть иррациональные числа. Если индийское мировоззрение мыслило пустоту («шунья», «нирвана»), то это дало такое число как нуль. Исходя из представления о конечной мере, греки не могли изобрести «нуль». Если античная арифметика и геометрия ориентированы на ясный и сложившиеся порядок храма и скульптуры, то западноевропейская математика через понятие функции стала осмысливать движение. Такая проблематика естественна для динамичного капитализма с его машинами. Итак, у каждой этнической культуры есть своя «душа», соответственно этому складываются особые математики.

В настоящее время социокультуризм весьма моден в западной и российской математике. Это объясняется тем, что его идеи отвечают основным принципам современного мировоззрения – активизации личного начала, динамизму и творчеству во всех сферах социальной жизни. Также и в современной философии науки явно доминирует школы и направления, выдвигающие на первый план роль социальных, исторических и психологических факторов (постпозитивизм, «социология знания», постмодернизм).

Думается, что уроки философской диалектики применимы и к оппозиции фундаментализма и социокультуризма. Каждое из этих направлений преувеличивает роль какого-то одного фактора: фундаментализм абсолютизирует объективную реальность, социокультуризм – активность человека. Как и везде, истина содержится не в крайних мнениях, а предпочитает золотую середину. Конечно, математика есть одно из человеческих предприятий, где многое определяют сами математики и нормы культуры. На древних формах математики лежит явная печать разных мировоззрений и здесь Шпенглер прав. Но историческое развитие математики вело к уменьшению ее зависимости от этнических ценностей. Обретя свою научную традицию, математические разделы стали развиваться в едином русле, что ныне дает основание говорить об общечеловеческой мировой математике. И причина этого заключается не только в выработке общих норм, правил и стандартов. В конечном счете, предметом математики является объективная реальность – природа, человек и общество. Данный мир содержит не только реализовавшуюся действительность, но и бесконечное многообразие возможностей. Эти структуры и пытается воспроизвести математика, что и требует от её представителей воображения и творчества.