Формальная абстрактность теоретической математики.

Все, кто учился в школе, уважают математику за её сложность и трудность.Правила и операции арифметического счета каждый из нас применяет легко и не задумываясь. Но если вспомнить начальную школу, то тогда их усвоение было отнюдь не безоблачным. Если же взять историю человечества, то представления о числах и действиях с ними дались с еще большим трудом, чем это происходит в современной школе. А ведь речь идет о том, что ныне считается самой простой и элементарной математикой. Средняя школа познакомила нас с некоторыми разделами высшей математики – алгеброй, геометрией, исчислением бесконечно малых. Эти теоретические знания усваивались весьма трудно и требовали больших интеллектуальных усилий. Причиной этого обычно считается высокая абстрактность математических понятий. Что же стоит за данным феноменом? Как объяснить его?

Математика пребывает за пределами обыденного эмпирического опыта.Самая простая работа интеллекта связана с приданием значений чувственным впечатлениям. Последние поступают к индивиду из внешней среды и наш разум делает их понятными, т.е. формируются ощущения и восприятия как некие понятные «окна» во внешний мир, позволяющие нам ориентироваться в нем. Познание в виде эмпирического опыта лежит в основе всей нашей повседневной деятельности как «здравый смысл». Оно определяет наши успехи в детстве и сопровождает всю жизнь.

Математика радикально отличается от жизненного опыта. Прежде всего, тем, что чувственные импульсы последнего задаются извне регулярно и становятся естественным и привычным фоном бытия. В свою очередь математика приходит из недр научной культуры, в этом плане она сверхприродна и искусственна. Для союза органов чувств и ума все математическое предстает как неочевидное. По большому счету эмпирический опыт и математика едины в своей абстрактности, но их уровни весьма различны. Ощущения и восприятия абстрактны в том, что их когнитивные образы отражают немногие выделенные свойства реальности, игнорируя всё остальное. Если мы видим яблоко и начинаем его есть, то опыт тем самым указывает только на пищевое свойство определенного фрукта. Здесь уместен термин «эмпирическая абстрактность». Математике присущ совершенно иной вид абстрактности – теоретическая отвлеченность. Эмпирические абстракции фиксируют общее (яблоко как пища, фрукт, круглое и т.п.), но его границы относительно узки и специфичны. Когда речь идет о математических понятиях, то они воспроизводят общее с любой степенью распространенности вплоть до универсальности. Достижение такой широты происходит за счет отвлечения от всех единичностей и конкретных особенностей. Примерами такого одностороннего сгущения мысли или идеализации выступают понятия числа, фигуры, множества, группы и т.п.

Предмет математики – это общие количественные и количественно-качественные структуры. Исторически первым предметом математики стало счетное количество. Древняя практика потребовала обеспечить всевозможные измерения счетными шкалами с соответствующими мерными единицами. Так возникли арифметика и практическая геометрия с наглядными образами целых чисел, прямых отрезков линий и других пространственных фигур. Здесь происходило отвлечение от всей содержательной конкретики реального мира (социальных, биотических, географических, физических и других характеристик) и в остатке абстрактной мысли оставались голые количественные определенности. Мало что изменилось с возникновением первой математической теории – геометрии Евклида. Здесь выделение количественных свойств сконцентрировалось на пространстве и соответственно сформировались новые идеальные объекты – «точка», «прямая линия», «угол», «площадь» и т.д. Также была разработана богатая номенклатура математических операций с абстрактными понятиями: «провести», «разбить», «перенести», «соединить» и т.п.

Хотя в центре внимания древних математиков было количество (величины, фигуры и т.д.), только к нему все дело не свелось. В сферу математического познания постепенно стали входить качественные характеристики, лишенные специфической конкретики. Речь идет об общих и упорядоченных формах, которые несут устойчивость, определенность, необходимость. Французские математики, назвавшие себя коллективным псевдонимом Н. Бурбаки, предпочли термин «структура». По их мнению, многообразие структур и составляет предмет математики. Их своеобразие сводится к тому, что они объединяют количественные и качественные свойства на единой абстрактной и формальной основе. Если взять теории современной алгебры; то их концепты – «группа», «кольцо», «поле», «решетка» и т.д. – несут в себе черты формальной абстрактности. Безликими, но определенными структурами являются множества всех видов, категории (включая топосы), функторы, игры, конфликты и прочие математические абстракции.

Математика как формальный язык. Наш жизненный опыт обслуживается обычным этническим языком (русским, английским и т.д.). Значения его единиц (слов, предложений) определяются прямым или косвенным соотношением с реальностью. Если мы говорим, что «скоро пройдет дождь», то ход погоды показывает, правы мы или не правы. В математике такой способ не действует. Все дело в том, что в ней исчезло конкретное содержание, непосредственно отсылающее к действительности. На его место пришли чистые формы или возможные структуры, существование которых определяется только законами логики. Главное правило гласит: законно существование только тех объектов, которые мыслятся логически непротиворечиво. Таких связей и отношений может существовать бесконечное множество, вот их математики и конструируют, не обращая никакого внимания на факты реальности.

Поначалу древние математики попытались строить математические значения на естественном языке, но, в конце концов, это обернулось разработкой особого искусственного языка. Практическая жизнь не требует логических определений и доказательств, а математика основывается на них. Эмпирический опыт допускает несколько разных значений одного слова, в математике же господствует закон тождества. Естественный язык центрирует опытное знание на окружающую реальность, для математики же важны логические возможности. Вот почему в математике слова и предложения, взятые из естественного языка, обязательно приобретают искусственный или формальный характер. Так, все свои аксиомы Евклид сформулировал в виде определений («прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками» и т.п.). Во всех разделах математики сконструированы несловесные знаки – геометрические (точки, линии, фигуры и т.д.), алгебраические (:, =, dy/dx, y=f(x) и т.п.) и прочие. Своеобразие любого математического языка состоит в формальных связях между знаками, которые регулируется сугубо логическими правилами. Такая универсальная черта дает основание представителям эмпирических наук заявлять о том, что математические формализмы суть синтаксис без семантики. Но если быть точными, то семантика у математических формул существует, только она формально – логическая (соответствие нормам логики и математики). К примеру, для физика такая семантика выглядит «пустой», что можно заполнить физическими интерпретациями. Если он берет двумерные векторы и придает им значения массы, силы и ускорения, то получает классическую механику. Если физик берет четырехмерные векторы и тензоры, вводя значения трех пространственных и одной временной координаты, то образуется специальная теория относительности. Если ученый привлекает алгебраическую матрицу и операторы, наполняя их особыми физическими значениями, то формулируется квантовая физика. Во всех этих примерах физику кажется, что он берет чистые и пустые формулы, но для математика они имеют свои значения – формальные смыслы. Итак, математика есть особый язык, несущий свой синтаксис и свою семантику.

Единство многообразия.Математика зародилась в древних цивилизациях Египта, Вавилона, Индии. Арифметика, геометрия и элементы алгебры представляли собой практически ориентированные правила. Теоретическая геометрия возникла в античной Греции (III в. до н.э.). В средние века математика развивалась в виде астрономических приложений. XVII в. дал аналитическую геометрию (Р. Декарт) и математический анализ в виде исчисления бесконечно малых (Г. Лейбниц, И. Ньютон). Экспоненциальный характер приобрело развитие математики в XIX и XX вв. В начале XXI в. математика пребывала на трех уровнях: содержательном, формальном и конструктивном. Каждый уровень включал около 60 основных направлений, каждое из них делилось на 500 разделов, а в свою очередь некоторые разделы распадались до 3 тысяч тем. Число членов математического сообщества перевалило за 300 тысяч. В конце XX в. доказывалось до 200 тысяч теорем в год.

Структуру математического знания можно определять по разным критериям. Н. Бурбаки полагали, что в основе всей математики лежат три структуры: порядок, алгебраические и топологические системы. Другие ученые предполагают оппозицию: визуально-пространственное/формально-знаковое. Если первое выделяет геометрию, аналитическую геометрию и топологию, то второе – алгебру, анализ и теорию множеств. Многие современные математики используют дихотомию: «непрерывное/прерывное». Первому соответствует классическая геометрия, топология и математический анализ, второму – алгебра, конструктивная и компьютерная математика.

Может ли один математик охватить все древо математического познания? Отрицательный ответ здесь очевиден. Но отдельные гениальные математики демонстрировали высокие образцы энциклопедичности. Таковыми были немецкие математики: К. Гаусс (1777 - 1855), Ф. Клейн (1849 -1925), Д. Гильберт, француз А. Пуанкаре (1854 - 1912). Немецко-американский математик Дж. Фон Нейман (1903 - 1957) признался друзьям, что знает примерно третью часть всего корпуса математики. Основной секрет такой широты сводится к тому, что если усвоить генеральные идеи математики, то многие частности вытекают из них чисто дедуктивно. Но на такое способен только гений.