Историческая изменчивость доказательства.

Сначала открыть, потом обосновать.В XVI-XVII вв. европейские ученые все шире стали применять различные типы чисел (отрицательные, иррациональные и ком­плексные числа) и алгебру. Эти нововведения хорошо помогали в обработке результатов экспериментов, но теоретически они были не обоснованы. Античные математики, выдвинув идеал логическо­го доказательства, воплотили его в геометрии. Почему же в Новое время математики отступили от этого идеала? Здесь было несколь­ко причин. Поначалу алгебру не считали самостоятельным направ­лением, ее рассматривали в качестве вспомогательного метода ана­лиза геометрических задач. Итальянец Д. Кардано (1501-1570) и француз Ф. Виет (1540-1603) оценивали алгебру как «аналитичес­кое искусство», дополняющее геометрическую науку. К концу XVII в. математики осознали, что арифметика и алгебра независимы от геометрии. Но они не представляли того, какими теоретически­ми методами провести их обоснование. Понятия иррационального или комплексного числа оказались сложнее наглядных образов геометрии.

Мировоззренческие предпосылки математического анализа и его теоретическое обоснование.Изинтуитивных образов арифме­тики и алгебры родилось дифференциальное и интегральное исчис­ление. Здесь особо трудными были две проблемы: определение и вычисление производной и определенного интеграла. Математи­ческое определение производной принадлежит французскому уче­ному П. Ферма (1601—1665). Он предложил правильный метод вы­числения производной через среднюю скорость без общего обос­нования. Способ «флюксий», разработанный Ньютоном, мало чем отличался от метода Ферма. Введение же бесконечных рядов хотя и упростило операции дифференцирования и интегрирования, но создало новые трудности (расходящиеся ряды). В своем определе­нии производной Лейбниц использовал представление о бесконеч­но малой как величине, которая меньше любого заданного числа, но все же не равна нулю. Интеграл предстал у него в виде беско­нечной суммы бесконечно малых величин. В ответ на критические замечания ученых в адрес его представлений о бесконечно малом и бесконечно большом Лейбниц сформулировал философский при­нцип непрерывности: «Если переменная на всех промежуточных этапах обладает некоторым свойством, то и ее предел будет обла­дать тем же свойством». Но и этот принцип не внес должной яснос­ти и рациональной строгости.

Мировоззренческая критика. Снею на математический анализ обрушился ирландский эпископ Дж. Беркли (1685-1753). Он опа­сался, что математическое естествознание расширит число атеис­тов. В новой математике он обнаружил явные и неявные наруше­ния закона противоречия, а также неприемлемые для математики операции. По его мнению, первые флюксии (производные) Ньюто­на вышли за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного чувственного опыта. Беркли отверг и бес­конечно малые величины Лейбница, которые плодотворны лишь в силу того, что ошибки здесь взаимно компенсируются. Новый ана­лиз оказался слишком экстравагантным для философии, соединив­шей религию, субъективный идеализм и эмпиризм. Если любая те­ория кажется подозрительной в силу отсутствия непосредственной связи с ощущениями, то математика сплошь состоит из таких «не­достатков». Беркли был прав только в том отношении, что у новой математики явно не хватало ясных и доказательных понятий.

Отказ от геометрических приемов и переход к строгому дока­зательству. Первый важный шаг в этом направлении сделал Эй­лер. Он полностью отверг геометрию как основу анализа и стал опе­рировать с функциями чисто формально, строя рассуждения на ос­нове алгебраического представления функций. Решающий сдвиг произвел французский математик О. Л. Коши (1789-1857). Он решил построить обоснование анализа на поняти­ях числа и предела. Ему принадлежат по существу правильные оп­ределения функции, непрерывности и производной. Коши разра­ботал теорию сходимости рядов, где хотя и дан критерий сходимос­ти последовательности, но не доказана его достаточность. Работу по обоснованию анализа завершил немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897). Он полностью освободил его от физических интуитивных представлений о движении и геометрической нагляд­ности. Вейерштрасс показал, что дифференцируемость не следует из непрерывности, и представил пример функции, непрерывной при всех вещественных х, но не дифференцируемой ни при одном значении х.

Обоснование арифметики и геометрии. Вслед за анализом они стали предметом обоснования. Эта последовательность, обратная истории матема­тики, дополнялась логикой движения от сложного к относительно простому. В 1837 г. английский математик У. Р. Гамильтон (1805-1865) приступил к обоснованию комплексных чисел, сведя их к упо­рядоченным парам вещественных чисел и определив основные опе­рации над ними. Затем Вейерштрасс стал осмысливать систему ве­щественных чисел, предложив строгое определение и вывод свойств иррациональных чисел из известных свойств рациональ­ных чисел. В 1888 г. немецкий ученый Р. Дедекинд поставил про­блему обоснования рациональных чисел и описал основные свой­ства, которые могли бы стать основой аксиоматической теории. Итальянец Дж. Пеано построил теорию рациональных чисел на базе аксиом, отражающих признаки натуральных чисел.

Программа наведения логической строгости распространилась и на геометрию. Дело в том, что в XX в. возникло несколько неев­клидовых геометрий. Заменив аксиому Евклида о параллельных другими положениями, их создатели – Гаусс, Лобачевский, Бойаи – не были уверены в непротиворечивости своих построений. В конце XIX в. математики доказали, что неевклидовы системы отве­чают нормам теоретической строгости. Было также показано отли­чие их математического содержания от возможных модельных ин­терпретаций (физический смысл). Когда ученые обнаружили не­которые изъяны в геометрии Евклида, они были устранены доста­точно быстро. Это свелось к установлению четко очерченного кру­га неопределяемых терминов, уточнению нескольких определений, восполнению недостающих аксиом и завершению доказательств. Данную работу по обоснованию проделали М. Паш (1843-1930) и Д. Веронезе (1854-1917).

1.4. Направления развития оснований математики.Когда во второй половине XIX в. возникла теория множеств (Г. Кантор) и в ней обнаружились противоречия, то это обострило проблему направленности развития математики. По какому пути она должна развиваться, чтобы в ее основаниях не возникали про­тиворечия? Здесь было предложено несколько направлений.

Логицизм.Его идейные истоки заложил Лейбниц, полагавший, что общие основания математики следует выводить из логики. Последнюю он считал источником необходимых истин или истин основания, у ко­торых существуют противоположные утверждения, ведущие к про­тиворечиям (Бог существует или не существует; суждение может быть истинным или ложным), Бог установил так, что законы логи­ки незыблемо истинны во всех возможных мирах и поэтому матема­тические истины как необходимые должны выводиться из принци­пов логики. Последующие логицисты не апеллировали к Богу. Так, Де-декинд полагал, что из законов чистого человеческого разума вытека­ет понятие числа, на котором и следует основывать всю математику.

К программе логицизма присоединился немецкий математик Г. Фреге (1848—1925). Он взял на вооружение ряд положений кантовской философии. Принципы логики являются априорными ис­тинами, т.е. истинами, принадлежащими человеческому разуму как бы врожденно, до всякого эмпирического опыта. В этих истинах не­явно заложены аналитические суждения, включающие и матема­тические законы. Задача состоит в том, чтобы произвести соответ­ствующее выведение и сделать законы явными. Составив список аксиом, Фреге из них, как из посылок, стал выводить арифмети­ческие понятия и правила, но пришел к ряду противоречий.

Другой вариант на тему логицизма предложили английские уче­ные Б. Рассел (1872-1970) и А. Н. Уайтхед (1861-1947). Они полагали, что можно построить строгую теорию логики и вывести из нее всю математику посредством особой символики. Чтобы из­бежать парадоксов в теории множеств, Рассел и Уайтхед ввели те­орию типов, которая запрещает множества, принадлежащие самим себе, и тем самым устраняет ряд противоречий, включая парадокс лжеца («Все, что я говорю - ложь»). Строя сложные классифика­ции, ученые вынуждены были использовать аксиомы сводимости, бесконечности и выбора. Их критики справедливо заявили, что эти аксиомы неясны, произвольны и спорны. Кроме того, если вся ма­тематика чисто формально выводится из законов мышления, то откуда следует ее разнообразные приложения к реальному миру? Если все сводится к логике, то, как объяснить действие в математи­ке образной интуиции?

Если логицизм не дал ответов на эти вопросы, то они оказались в центре внимания другого направления.

Интуиционизм.Основная идея здесь была задана Декартом и другим французс­ким мыслителем Б. Паскалем (1623-1662). По мнению Декарта, ин­туиция есть способность интеллекта находить в разуме ясные, про­стые и весьма общие истины (треугольник ограничен тремя линия­ми и т.п.). И уже из них выводит частные следствия дедуктивное мышление. Паскаль же связал интуицию с душой (сердцем), сбли­зил с верой и противопоставил ее логическому разуму. Важный вклад в становление современного интуиционизма внес французс­кий ученый А. Пуанкаре (1854-1912). Он был убежден в том, что интуиция предшествует всякой аксиоматизации, формализации и логическому выводу. Интуиция делает возможной математическую индукцию, которая и дает новое знание.

Идеи своих предшественников смог свести в единую концепцию голландский математик Л. Э. Я. Брауэр (1881-1966). Он придержи­вался нескольких философских идей. Существуя в сознании чело­века, математика никак не зависит от внешнего мира. Разум инту­итивно или непосредственно постигает в самом себе основные и сходные представления. Их нельзя считать чувственными или ло­гическими, просто это непосредственно данные понятия и, прежде всего, понятия целых чисел. Они основаны на интуиции времени как некоторой последовательности. Так, ряд натуральных чисел образуется в ней путем неограниченного повторения. Математи­ческое мышление созидательно и конструирует свои истины без логики. Ограничения связаны лишь с тем, какие идеи приемлемы для интуиции, а какие не приемлемы. К числу первых кроме нату­ральных чисел Брауэр отнес операции сложения, умножения и математичес­кую индукцию.

По мнению ученого, сущность математики не зависит от языка, который обслуживает мир эмпирического опыта. Слова и символы играют в ней вспомогательную роль и служат только для передачи математических истин. Логика же принадлежит языку, она дает правила для составления предложений и их совокупностей. Стало быть, логика по преимуществу есть инструмент человеческого об­щения, а не метод познания. В науке логика должна быть подчине­на интуиции и может быть выстроена на основе математики. Вот почему аксиоматизация, ориентированная на логику, не имеет смысла для развития математики. Такая программа уже привела к самым серьезным противоречиям. Старая логика требует пересмотра. В число отброшенных элементов должен войти закон ис­ключенного третьего, неприменимый для бесконечных множеств, ввиду невозможности проверки. Эти и другие положения Брауэра поддержали другие математики (Г. Вейль, А. Гейтинг и др.)

Интуиционисты не смогли прийти к единому мнению относи­тельно сути конструктивного доказательства. Одни полагали огра­ничиться лишь теми понятиями, которые допускают эффективное определение или построение. Конструктивисты же не ставили под сомнение классическую логику и стремились использовать ее как можно полнее. Некоторые выделяли определенный класс математических объектов, а затем вводили конструктивные ме­тоды. В силу ряда недостатков интуиционистам удалось добить­ся весьма ограниченных успехов и их перспективы не являются блестящими.

Формализм.Данное направление сформировал немецкий математик Д. Гиль­берт. Его программа состояла из ряда положений. Ба­зовыми должны быть аксиомы и понятия, как логики, так и мате­матики, ибо эти дисциплины не выводятся друг из друга. Матема­тика является формальной наукой, занимающейся преобразовани­ем символов безотносительно к их значению. Доказательства тео­рем должны сводиться к преобразованию символов по правилам логического вывода. Чтобы избежать использования интуитивных представлений, ведущих к парадоксам, нужно записать все утвер­ждения математики и логики в символической форме. Строгое до­казательство включает в себя три этапа: 1) предъявление некото­рой формулы; 2) утверждение, что из данной формулы следует дру­гая формула; 3) предъявление второй формулы.

Гильберт и его ученики создали метаматематику (греч. meta – после, за) как метод доказательства непротиворечивости любой формальной системы. Здесь предлагалась особая логика, которая не должна вызывать никаких возражений. Все спорные моменты изгонялись. Понятия и методы метаматематики оценивались как финитные (лат. finites – конечный), т.е. все рассматривается в рам­ках принципиальной представимости объектов и принципиальной выполнимости операций.

Теоретико-множественное направлениеЕго основные идеи намечены Дедекиндом и Кантором. Основу классической теории множеств заложил немецкий математик Г. Кантор (1845-1918). Он нарушил многовековую традицию и ввел в математику представление об актуально бесконечных множествах как реально существующих сущностях. В качестве исходного бесконечное множество Кантор определил как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своими собственным подмножеством. Отсюда следовало, что можно сравнивать два актуально бесконечных множества и устанавливать то, содержат ли они одинаковое число элементов или нет. К такой паре можно отнести положительные целые числа и четные числа:

1 2 3 4 5 …….

2 4 6 8 10 …...

В ходе сравнений Кантор установил отношение эквивалентности, или равенства («равномощности») двух множеств. Также он выяснил, в каком смысле следует понимать, что одно бесконечное множество больше другого. Отсюда стали получаться удивительные выводы. Оказалось, что множество целых чисел равносильно множеству рациональных чисел (все положительные и отрицательные целые числа и дроби), но меньше множества всех вещественных (рациональные и иррациональные) чисел. Когда Кантор ввел понятие «множество всех множеств», мощность которого должна быть самой большой из возможных, то это обернулось тяжелым ударом по всей теории. Ученый доказал, что множество всех множеств любого заданного множества должно обладать трансфинитным числом, которое превосходит трансфинитное число, отвечающее исходному множеству. Следовательно, должно существовать трансфинитное число, превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел. Налицо неумолимый вывод, дающий явное противоречие, которое ставит всю теорию в ранг ложных концепций. Кроме этого возникли и другие парадоксы, усугубившие подозрительное отношение к теории множеств. А ведь на нее возлагались надежды обоснования теории целых чисел.

К разрешению парадоксов теории множеств подключилось несколько выдающихся ученых. Б. Рассел разработал теорию типов, где множества заняли разные уровни некой иерархической системы. В ней было пересмотрено мне­ние Кантора о том, что множество есть любой набор определенных пред­метов, доступных нашей интуиции или мысли. Это определение и Э. Цермело (1871-1953) оценил как наивное и нестрогое, обусло­вившее ряд противоречий. Он предложил систему аксиом с неоп­ределяемыми понятиями множества и отношения включения одно­го множества в другое. Позднее ее усовершенствовал А. А. Френкель (1891-1965). В этой системе исключено множество, содержа­щее все множества. На основе данной аксиоматики строятся клас­сический математический анализ, арифметика {теории чисел), геометрия, т.е. почти вся математика.

Под огнем критики. Теоретико-множественная программа так­же не избежала критики. Указывалось, что здесь не решен вопрос о логических принципах теории, некоторые аксиомы произвольны и искусственны. И все же метод Цермело-Френкеля является ныне одним из самых надежных и фундаментальных подходов в матема­тике. С некоторыми поправками его развивает группа математи­ков, объединившихся под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки.

1.5. Мировоззренческая неоднозначность математики.Все четыре направления можно считать различными решениями одной проблемы – «Какова сущ­ность математического доказательства?» Имея общематематичес­кий характер, она сопряжена с несколькими мировоззренческими вопросами. Один из них выделяет отношение математики к внеш­нему миру и ученому. Здесь, как и по другим проблемам, математи­ки используют традиционные философские решения. Усмотрение математических прообразов во внешних для человека сущностях объединяет религиозную философию, объективный идеализм и материализм. Приверженцы данной идеи вынуждены выби­рать определенный вариант. Так, Л. Кронекер полагал, что целые числа созданы Богом, а Кантор истоки множеств нашел в трие­динстве христианского Бога. К платоникам можно отнести Ш. Эрмита (1822-1901), считавшего, что числа и функции анализа сущес­твуют как внешние объективные идеи.

Математика – не открытие, а изобретение ученого.Если математика зависит от внешнего мира, то ученый способен лишь от­крывать предсуществующие истины. С позиции же субъективного идеализма математик творит те или иные теории, их изобретение зависит только от сознания ученого. У этой идеи есть два варианта. Один из них предложен Кантом, для которого математические зна­ния определены априорными формами чувственного созерцания и рассудка. С этой позицией солидаризировался Гамильтон, создав­ший такие числовые структуры как кватернионы. По его мнению, геометрия и алгебра являются науками чистого разума, следствия­ми врожденной способности человека. Видный алгебраист XIX в. А. Кэли полагал, что математика представляет априорные знания, не зависящие от всякого опыта вообще и выражающие вклад на­шего разума в интерпретацию опыта. Согласно другому варианту субъективизма, математическое творчество не ограничено какими-то вечными правилами разума. Те или иные результаты относитель­ны и изменчивы, ибо ученые сами устанавливают правила в виде условных и общих соглашений. Эту философскую установку Л. Витгенштейна (1889-1951) разделяли многие интуиционисты.

Физикализм.Приоритет внешней сущности или сознания уче­ного определяет решение другой важной проблемы: «Чем явля­ется теоретическая математика: самостоятельной наукой или при­кладным методом других дисциплин естествознания?» Возможен и несколько другой вопрос: «Существуют ли у математики эмпи­рические основания?» Английский ученый Д. С. Милль (1806-1873) считал, что по сути дела математика мало чем отличается от физи­ки, так как ее теории подтверждены опытом более основательно, чем истины последней. Это мнение поддержал современный поль­ский математик А. Мостовский. По его мнению, математика явля­ется естественной наукой, потому что ее понятия исторически вос­ходят к практике и современные теории применяются в экспери­ментальном естествознании. В последнем математика уже давно выступает не только инструментом вычисления, но и методом от­крытия («математические гипотезы»). К аналогичному выводу при­шел также интуиционист Г. Вейль: «Подлинно реалистическая ма­тематика наряду с физикой должна восприниматься как часть тео­ретического описания единого реального мира ...» Д. фон Нейман (1903-1957), Гедель, и У.В.О. Куайн в физикалистской трактовке математики увидели выход из того тупика, в котором она оказалась. Если математические идеи представлять в виде гипотез, которые не обосновывают что-то, а объясняют и предсказывают эмпиричес­кие законы, то это поможет развенчать идеал одной, вечной и аб­солютной математики.

Математика влияет на философию. В заключение следует от­метить, что не только мировоззрение влияло на математическое мышление, но проявлялось и обратное действие. Речь идет о тех оценках и выводах, которые шли от фундаментальных теорий в ад­рес философских доктрин. Так, неевклидовы геометрии дали серь­езные аргументы против кантовского априоризма. Стало быть, между математикой и мировоззрением была и существует двусто­ронняя связь.

Гносеологическое значение теорем Геделя. Почти все направления математики были потрясены исследованиями австрийского математика и логи­ка К. Геделя (1906-1978). В 1931 г. он убедительно показал, что не­противоречивость любой математической системы не может быть установлена средствами самой этой системы. Этот результат оказал­ся следствием теоремы о неполноте - если формальная теория, вклю­чающая арифметику целых чисел, непротиворечива, то она неполна. Стало быть, в арифметике существует истинное утверждение, кото­рое недоказуемо и, следовательно, неразрешимо. Данная теорема за­дела все наличные аксиоматические системы и указала на пределы аксиоматизации. Истинность утверждений, недоказуемых в акси­оматической системе, может быть установлена только неформаль­ными средствами. Теорема Геделя нанесла сильный удар по форма­лизму и другим направлениям, почти не задев интуиционизм.

Теоремы Геделя проливают свет на сущностные черты математики. Они становятся важным критерием различения истинных и ложных утверждений. Так, Гильберт полагал, что возможна полная теория математики, т.е. из конечной совокупности принципов можно логически вывести все остальные математические положения, которые оказываются доказуемыми. Здесь выдвинута модель возможной математики как замкнутой теории, где новое уже невозможно. Теоремы Геделя ставят крест на таком проекте, ибо вне любой теории оказываются такие утверждения, которые не могут быть логически доказанными. Исчерпывающую замкнутую теорию построить нельзя, так как конечный список аксиом невозможен, он безбрежен.

Лейбниц утверждал, что все происходящее имеет причинное основание (принцип достаточного основания). В свете теорем Геделя данное суждение ложно или в лучшем случае сомнительно. Лейбниц исходил из убеждения античных математиков в том, что все требует общего логического доказательства. Однако компьютерная математика убеждает в обратном. Оказалось, что часть математических фактов организуется логикой и вычислениями в алгоритмическую информацию, которая подчиняется компьютерной программе. Но другая часть остается вне этих процедур и, стало быть, она не доказуема.

В рамках своей математической модели универсальной вычислительной машины А. Тьюринг сформулировал проблему: можно ли определить, остановится когда-нибудь компьютерная программа или нет? Для множества частных случаев она решается, но общего решения нет. Вероятность остановки случайно выбранной программы есть число омега «Ω»: 0 < Ω < 1. Вполне возможно, что точное значение Ω существует, но рассчитать его невозможно, ибо проблема остановки не имеет однозначного решения. Все это вписывается в «идеологию» теорем Геделя.

1.6. Существует ли в математике особая эмпирия?Этот вопрос имеет особую важность тогда, когда требуется включить математику в какую-то классификацию наук. Возьмем самое типичное деление научных дисциплин: естественные, социальные и гуманитарные. Математика пронизывает первую группу, частично присутствует во второй и является редкой гостьей для третьей. Казалось бы, ответ очевиден: математика есть в основном естественная наука, отражающая упорядоченные структуры природы и общества.

Истоки теоретической математики пребывают в эмпирической практике. Если математика так широко применяется в эмпирических науках, значит, у нее существует отношение к реальности и она обречена иметь эмпирическое происхождение. Если взять теоретическую математику, то ее понятия сформировались путем особой идеализации из единиц эмпирического опыта (восприятий, представлений). Такова точка зрения Аристотеля. Эту позицию разделяли многие математики и философы. Выделим мнение немецкого философа Э. Гуссерля (1859 - 1938), получившего специальное математическое образование (диссертация по основаниям арифметики). Мыслитель полагал, что у всех математических теорий были свои эмпирические предпосылки. Любая теория вырастает из эмпирического опыта и математика здесь – не исключение из правила. Так, все аксиомы и неявные определения геометрии Евклида суть не что иное, как вербальные обобщения богатого и многообразного практического опыта.

Итак, теоремы Геделя указывают на бесконечно сложную природу математики. Вот почему она состоит из двух областей. Одна из них в виде конечного множества теорем подчиняется логике, доказательству и расчету. Другая часть в виде аксиом не подчиняется строгой рациональности. Хотя математические факты сжимаются и сублимируются в теории, этот процесс уходит в бесконечность и список аксиом всегда открыт. Все это говорит в пользу квазиэмпиричности математики.

Основные понятия синергетики.

Слово «синергетика» можно смело считать самым популярным среди естествоиспытателей и философов. Оно начинает входить и в лексикон гуманитариев. Если мы переведем его с греческого (synergos – совместно действущий), буквальный смысл мало чего нам скажет. Необходим разъясняющий анализ.

2.1. Синергетика возникла как термодинамика сильно неравновесных процессов. Предмет термодинамики можно разделить на три области, изучение которых соответствует трем последовательным этапам в ее развитии. Область термодина­мического равновесия, где силы равны нулю, изучала классичес­кая термодинамика в лице С. Карно, Клаузиуса, Больцмана и Гиббса. Слабо неравновесную область, где термодинамические силы «слабы» и скорости необратимых процессов или потоки линейно(просто)зависят от сил, стала изучать линейная термодинамика (Л. Онсагер), Де Донде, Л. И. Мандельштам и др.). Она началась с публикации Онсагера в 1931 г. Сильно неравновес­ная область, где потоки являются нелинейными, сложными фун­кциями сил, стала в 1970-е гг. предметом физики диссипативных систем в терминах бельгийского ученого И. Пригожина (1917-2003), или синергетики (немецкий ученый Г. Хакен). Синергетика стала общераспространен­ным термином, обозначающим комплекс различных наук, которые изучают тепловые, химические, биотические неравновесные про­цессы развития.

Энтропия и порядок.Как известно, основное содержание классической термодина­мики составляет второе начало, которому Больцман дал вероятнос­тную трактовку и объяснил возрастание энтропии микроскопичес­кими представлениями. Все системы макромира состоят из огром­ного множества молекул и атомов, поэтому состояние любой сис­темы определяется статистическими законами. Больцман первым понял, что возрастание энтропии следует рассматривать как про­явление все увеличивающегося молекулярного хаоса, в результате чего система «забывает» свои начальные условия. В его знамени­том соотношении (S = k In P) статистический вес Р является особой вероятностью в виде числа способов осуществления макросостоя­ния системы. Под способом подразумевается то или иное распре­деление (или перестановка) молекул, реализующее данное макро­состояние. Такие распределения можно оценить в понятиях поряд­ка и беспорядка. Порядком следует считать всякое отклонение от усредненности, любую асимметрию в распределении атомов и молекул. Выравнивание же параметров, равномерное распределение и атомно-молекулярный хаос выражает беспорядок. Согласно фор­муле Больцмана, возрастание энтропии означает возрастание со­стояния, когда неупорядоченное состояние более вероятно, чем упорядоченное.

Допустим, имеются два тела при разных температурах, что оз­начает определенный порядок. Затем они контактируют и вследст­вие теплопроводности их температуры выравниваются. Можно констатировать, что первоначальный тепловой порядок уступил место усредненному тепловому беспорядку. То же самое происхо­дит при смешении газов и жидкостей. Свободное расширение газа из баллона также означает разупорядочение, так как газ из малой области пространства занимает больший объем и такое состояние реализуется большим числом способов, чем упорядоченное.

Открытая система. Классическая термодинамика изучала закрытые системы, которые не обмениваются с окру­жающим миром ни веществом, ни энергией. Рано или поздно, но с неиз­бежностью, они попадают в термодинамическое равновесие, где энтропия принимает мак­симальное значение.

В 1929 г. бельгийский физик Р. Дебай ввел понятие «открытая система» Её своеобразие состоит в том, что она обменивается с окружающей сре­дой веществом «В» и энергией «Е». У такой системы есть вход (поступление извне вещества и энергии) и выход (выведение из системы некоторых вещественно-энергетических продуктов). Поскольку энтропия есть функция состояния вещества, то вместе с веществом энтропия поступает в систему и может выходить из нее. Полное изменение энтропии открытой системы совпадает с суммой энтропий на входе и выходе.

Интересна ситуация, когда приток энтропии меньше ее оттока, что делает изменение энтропии системы в целом отри­цательным. Такое убывание энтропии открытой системы обеспечивается тем, что отток энтропии превышает ее производство внутри систе­мы. В системах, внутри которых протекают физические, химические, биологические процессы, всегда производится энтропия.

Диссипация.Процесс диссипации(лат. dissipatio – рассеивание) выражает переход высококачествен­ной энергии упорядоченных форм движения (механического, хи­мического, электрического, светового) в низкокачественную энер­гию теплового хаотического движения молекул. Диссипация харак­теризует своеобразное обесценение энергии, переход свободных форм энергии в связанные виды. В природе действуют законы сохранения материи и энергии, а так же закон возрастания энтропии. Диссипация – это необходимая плата или компенсация этим неумолимым законам за возможность открытым системам сохранять себя и совершенствоваться.

В жизни открытой системы фигурирует время и это означает, что речь идет о неравновесных процессах. Движущей силой высту­пает какой-то порядок в виде различия (разность температур, раз­ность электрических или химических потенциалов и т.п.). В про­цессах производства энтропии всегда наличествует поток – изме­нение некоторой физической величины – и сила, создающая этот поток. Функция диссипации выражается произведением потока и силы.

Динамическое равновесие: стационарность отлична от простого равновесия. Австрийский исследователь Л. Берталанфи (1901-1972),описывая параметры открытой системы, особо выделил у неё такое состояние как «станционарность (лат. statinarius – неподвижный)» или «динамическое равновесие». Для него характерно: 1) сохранение существенных свойств системы (инвариантность); 2) структурная устойчивость в классе отношений «вход – выход» (принцип Ле Шаталье); 3) действие положительных и отрицательных петель обратных связей. Стационарное состоя­ние открытой системы противостоит тенденции выравнивания начальных различий. Здесь стационарность противоположна простому равновесию, совпадающему с покоем. Если последнее тождественно «смерти», где энтропия и диссипа­ция уничтожили всякую разницу, то стационарное состояние вы­ражает жизнь в широком ее смысле. Тут за счет неравновесных процессов сохраняются движущие силы системы, ее способность существовать во времени и не увеличивать свою энтропию. Стаци­онарное состояние является своего рода «проточным равновесием» системы в динамичном потоке бытия.

Динамическое равновесие похоже на состояние реки, где поток воды сохраняет характеристики проточности с той лишь разницей, что в этом потоке находится водяная мельница в качестве открытой системы. Через нее и осуществляется «проточное равновесие». Другим примером стационарного состояния может быть жизнь челове­ка, сохраняющего неизменным свой вес. Оно обеспечивается не­равновесными процессами питания – дыхания (вход) и выделения (выход). Энтропия ве­ществ, выделяемых человеком, выше, чем энтропия веществ, им потребляемых. В книге «Что такое жизнь с точки зрения физики?» (1945) Э. Шредингер писал о том, что живой организм «питается отрицательной энтропией». Такое образное сравнение весьма точно. Из окружающей среды человек берет энтропии мень­ше, чем тот объем, который он туда отдает. За счет данного нерав­новесия сохраняется весовой и другой гомеостаз жизни.

Эффект Бенара. Имеется сосуд с силиконовым маслом. Этот со­суд сильно подогревают снизу, создавая разность температур между нижней и верхней поверхностью жидкости. Пока разница температур мала, в масле ничего особенного не происходит. Но при некотором высоком значении разности температур поведение масла резко ме­няется. Возникает конвекция и жидкость разбивается на гексаго­нальные ячейки. В ходе самоорганизации системы возникла дина­мическая упорядоченная структура, напоминающая кристалл. Та­кая организация создалась совместным кооперативным движени­ем молекул.

2.2. Диссипативные структуры способны к самоорганизации.Эффект Бенара показывает, что открытые системы способны не только пребывать в стационарном состоянии, но и совершенство­ваться путем самоорганизации. Это развитие требует уменьшения энтропии системы, когда выход энтропии в окружающую среду превышает ее вхождение извне. Такие условия возникают лишь вдали от равновесия. Для того чтобы происходил экспорт энтропии – ее отток из системы, нужна подача свободной энергии в количестве, перекрывающем измене­ние внутренней энергии и вклад, определенный производством энтропии. Ясно, что отток энтропии сопряжен с диссипацией, т.е. рассеянием энергии. Только благодаря такой плате возникает новое упорядоченное образование. Поэтому И. Пригожин самоор­ганизующиеся структуры назвал диссипативными.

Реакция Белоусова – Жаботинского как образец диссипативной структуры. Динамические равновесиямогут возникать в виде колебаний и волн. Такова реакция, открытая Б. П. Белоусовым в 1951г. и детально изученная A.M. Жаботинским. Она состоит из двух стадий, в первой стадии трехвалентный цезий окисляется бромноватой кислотой, а во второй стадии четырехвалентный цезий восстанавливается малоновой кислотой. Периодический процесс окраски раствора предстаёт в виде свое­образных «химических часов». Такие автоколебательные про­цессы возникают в открытых нелинейных системах, далеких от равновесия. Волны поддерживаются оттоком энтропии из системы и качество на входе выше качества на выходе.

Хаос как нелинейная игра случайностей.До XIX в. наука стремилась изучать законы как относительно простые и необходимые связи, признавая случайное только на уровне значимых фактов. Такую направленность обслуживал лапласовский детерминизм и философия, сводившая случайное к внешним проявлениям необходимости (Гегель). Период игнорирования случайностей закончился с появлением термодинамики и эволюционной теории Дарвина. Множество случайных отклонений (флуктуаций) обернулось здесь обязательным содержанием статистической закономерности, мерой чего стало понятие вероятности. Квантовая физика закрепила вероятностно-статистическую стратегию в качестве генеральной линии неклассической науки. В этот поворот синергетика внесла свой важный вклад.

Ядром синергетики стало понятие хаоса как игры огромного множества случайностей. Такой беспорядок вездесущ в природе и обществе: формирование облаков, турбулентность в течении водных потоков, колебания численности популяций. Группировка звезд в галактиках, распределение сети кровеносных сосудов, возникновение неформальных сообществ и институтов и многое др. Открытые системы здесь чрезвычайно сложны и состоят из огромного множества элементов. Такая сложность выражается понятием «нелинейность». Каждая подсистема диссипативной структуры имеет много степеней свободы и способна на широкий репертуар отклонений. Ее поведение нельзя представить одномерной линией, адекватная модель – это древовидная сеть. Она все время меняется и конфигурации ветвления варьируются. Нелинейность так же предполагает, что начальное состояние системы не определяет достаточно далекое будущее, на коротком промежутке времени происходит резкое забывание прошлого. Эту черту хорошо знают метеорологи: горизонт прогноза погоды не превышает трех недель.

Эффект бабочки: слабое побеждает сильное, малое вызывает большое. И все же в синергетике хаос считается детерминирваннным. Связь прошлого, настоящего и будущего остается, только она обретает сложные нелинейные формы, включающие и локальные разрывы. Сетевое древо таит обилие альтернативных путей, создающее богатое поле возможностей. Однако выбор протекает не в форме произвольного блуждания, а в рамках широкого и вполне определенного множества. Здесь действует не жесткий, но вполне предопределенный выбор. Кроме того, в системе имеется несколько «параметров порядка», к которым подстраиваются все остальные, что дает согласованность целого, синхронизацию и кооперативные эффекты. Подобным образом действуют микрообъекты в лазерах.

Американский фантаст Ф. Брэдбери написал рассказ «И грянул гром». Сюжет строится на том, что некий миллионер отправляется с инструктором на машине времени в прошлое поохотиться на динозавров. Столкнувшись с грозным хищником, охотник в страхе нарушает запрет и сходит с «тропы». Случайно он раздавливает бабочку и когда они возвращаются в настоящее, то обнаруживают резкую перемену: вместо демократического режима властвует тиран. Смерть бабочки в далеком прошлом по цепочке детерминаций вызвала политический переворот в настоящем. Этот образ созвучен древнекитайскому даосизму, где слабое побеждает сильное, мягкое одолевает твердое и тихое торжествует над громким. Восточная мудрость исходит из того, что несиловые воздействия способны вызвать весомые результаты. Лучшая победа там, где полководец без всяких материальных усилий и потерь со своей стороны вынуждает противника ошибаться и, в конце концов, тот сдается.

Бифуркация: хаос способен творить порядок.В синергетикеэффект бабочки демонстрирует точка бифуркации (лат. bifurcus – раздвое­ние). Она выражает особое положение открытой системы, весьма отличное от динамического равновесия. Если в стационарном состо­янии необходимость определяла случайности (Н₁→Сл), то в точке бифуркации решающая роль переходит к случайностям, они начинают определять новую необходимость, новый путь развития (Сл→Н₂). Иначе говоря, в бифуркации диссипативная структура оказывается в состоянии «витязя на распутье». Она выбита из седла стационарности и, попав в крайне неустойчивое положение (процесс крайнего обострения), она имеет перед собой неопределенную перспективу в виде ряда возможных путей. Вся пикантность этой ситуации заключается в том, что выбор определенной альтернативы предназначено осуществить хаосу в форме флуктуаций. Они и призваны реализовать эффект бабочки.

Допустим, что управляющим параметром порядка для открытой системы является разность температур. В бифуркации она достигает критического значения и тепловая флуктуация в 0,01◦С переводит систему в новое состояние. Выбор возможного пути состоялся. По такому сценарию протекают эффект Бенара и реакция Белоусова-Жаботинского. Нечто подобное происходит в лазере. В обычном состоянии возбужденные атомы излучают электромагнитные волны хаотично. Но вот «энергия накачки» (параметр порядка) достигла критического порога и его малое превышение (флуктуация) в резонансной форме согласует волны всех атомов в единое синхронное и когерентное излучение.

Представленная схема показывает радикальное отличие бифуркации от динамического равновесия. Последнее вполне адекватно выражается моделью одномерной линии, где действует режим конвергенции, свертывания всякого разнообразия и подчинения его необходимым значениям управляющих параметров порядка. Но вот диссипативная структура попала в бифуркацию, запускающую режим дивергенции, где развертывается разнообразие в виде серии возможных путей. Здесь уже доминирует беспорядок и выбор пути свершают случайности. Как только бифуркация пройдена, начинается новая стационарность с режимом порядка и однообразия. Таким образом, диссипативные структуры реализуют волновую цикличность, попеременно сменяя режимы динамического равновесия и бифуркации. Если время существования первого состояния может быть весьма продолжительным, то на этом фоне длительность бифуркации сравнима с краткими мгновениями.

Задания.

1. Логика помогает ученым копать яму науки правильно и глубоко, но она не может определить место под эту яму. Какая познавательная способность здесь предполагается?

2. Что кажется вам предпочтительнее в понимании сути математики: «фундаментализм» или «социокультуризм»? Обоснуйте свое решение доводами.

3. Принимаете ли вы тезис о «квазиэмпиричности» математики?

4.Сформулируйте основные гносеологические выводы из теорем Гёделя.

5. Почему тождественны понятия «открытая система» и «диссипативная структура»?

6. Какой смысл несет понятие «детерминированный хаос»?

7. Какие студенты чаще всего попадают в точку бифуркации на экзамене: те, кто хорошо учатся или неуспевающие в учебе?