Математика, арифметика и геометрия

Математика или, по крайней мере, арифметика появились еще раньше письменности. Оперирование с обозначениями предметов (простыми символами) означало первую возможность производить простейшие операции — сложение и вычитание — без подсчета реальных предметов. Таким образом, это было операцией противопоставления одной совокупности предметов другой. Вначале появилась стандартная совокупность — десять пальцев двух рук, единицы (digits)* арифметики, основа десятичной системы. В надписях на пирамиде злой дух просит душу египетского фараона показать, может ли он сосчитать свои пальцы, и душа фараона с триумфом выдерживает это испытание. Для более сложного счета — сложения и вычитания — могли употребляться камни (calculi)**, от которых произошло наименование всех наших расчетов (calculation). Позднее они были заменены бусинками, нанизанными по десять на проволоке, тем самым образовав первую и до сих пор еще весьма употребительную счетную машину — счеты. Введение измерения дало возможность распространить сложение и вычитание на количества (величины). Более сложные действия умножения и деления появились тогда, когда были введены делимые величины, в частности величины, связанные с общественными работами — рытьем каналов, возведением пирамид.

* Слово «digits» имеет значение не только «единицы», но и означает «пальцы». — Прим. ред.

** Латинское слово «calculus» означает камень, в том числе — счетный камень. — Прим. ред.

Действия, связанные со строительством, сами по себе внесли свой вклад в основы геометрии, вероятно, еще до появления землемерной съемки. Первоначально городские здания были просто сельскими хижинами, сделанными из дерева или тростника. В городах, тесно застроенных и где существует опасность пожара, глинобитные дома или постройки из утрамбованной глины представляли собой шаг вперед по сравнению с тростником. Следующий шаг — изобретение стандартной формы куска высушенной глины, кирпича, — должен был иметь еще большие последствия. Возможно, кирпич не был оригинальным изобретением, а копией, сделанной из единственно доступного материала в равнинной местности — каменных плит, которые появились естественно и служили опорой сухих стен, возводимых на холмах. Кирпичи было невозможно складывать удобно до тех пор, пока они не стали прямоугольными, а их использование неизбежно привело к идее прямого угла и употребления прямой линии, которая первоначально была натянутой веревкой рабочего, изготовляющего веревки, или ткача (см. рис. 3).

Практика строительства строения из кирпича, в частности больших религиозных сооружений в форме пирамид, привела не только к геометрии, но также и к понятиям площади и объема геометрических фигур и тел, которые можно вычислить, если известна длина их сторон. Вначале можно было узнать лишь объем прямоугольных блоков, но нужды постройки наклонных, сходящихся вверху конусообразной стены, привели к более сложным формам, подобным формам пирамид. Вычисление объема пирамид было высшим достижением египетских математиков и предвосхитило методы интегрального исчисления.

Также из строительства возникла практика составления масштабного плана. Такой план города с указаниями архитектора был, например, изображен на статуе Гудеа из Лагаша (около 2250 года до н. э.). При наличии таких математических методов правитель мог спланировать все операции по строительству из кирпича или камня. Он мог точно высчитать количество необходимых рабочих, количество материалов и продуктов питания, требующихся для них, и время, которое займет эта работа. Такие технические приемы стали быстро распространяться из города в сельскую местность в виде составления плана полей, вычисления их площадей и размеров урожая с точки зрения доходности. Это и есть истоки картографии и землемерной съемки. Именно это практическое использование впоследствии привело к возникновению слова «геометрия» — измерение земли. В действительности математика вначале возникла как вспомогательный метод производства, который стал необходимым и возможным с появлением жизни в городе (см. рис. 4.)