Принципы построения и исследования математических моделей

Сложные системы изучают и проектируют на основе системного подхода, разработанного в рамках сравнительно новой научной дисциплины - системного анализа и его прикладной части - системотехники.

Суть системного подхода - проектирование системы, исходя из заранее сформулированных целей, по принципу “сверху вниз”. Так например, при проектировании программного обеспечения данный подход реализуется в виде различных современных технологий программирования (например, структурного программирования).

Системный анализ осуществляется в следующем порядке [Костюк В.И. Основы построения АСУ.-М.:Сов.радио, 1977], с.29

1. Постановка задачи, формулировка целей и критериев. Чаще всего критерии должны быть вероятностными (например, математическое ожидание или вероятность какого-либо события)

2. Выделение системы из среды, ее первичная структуризация или декомпозиция. Здесь можно использовать эмпирические или формализованные подходы. Основной эмпирический принцип - разбивать на подсистемы таким образом, чтобы число связей между элементами различных подсистем было минимальным. При формализованных подходах строят граф системы и производят его анализ с целью определения сильно связанных подсистем, петель, контуров, изолированных элементов и других структурных характеристик.

3. Составление математической модели подсистем и способов соединения подсистем в систему (агрегирование).

4. Исследование модели системы.

5. Прогностическое использование.

Этапы 1 и 2 носят общее название “структурный анализ”, этапы 3 и 4 - “моделирование”.

После выполнения пунктов 1 и 2 определяют множества переменных, возмущающих и управляющих воздействий, измеряемого скалярного или векторного выхода, после чего на основе анализа законов взаимодействия частей системы между собой и внешними воздействиями приступают к созданию собственно математической модели. При этом используют аналитический или экспериментальный способ построения математической модели.

Аналитический способ предполагает использование известных законов (физических, химических, биологических, экономических и т.д.).

Экспериментальный способ основан на проведении натурных экспериментов над реальной системой и называется идентификацией.

Заметим, что первый способ, использующий известные законы, также в значительной степени экспериментальный, поскольку большинство законов природы получено на основе ранее выполненных экспериментов.

Этап 4 (исследование), включающий реализацию модели на компьютере, состоит из подбора численных методов, проверки модели на специально подобранных задачах, анализе полученных решений на существование и единственность, устойчивость и грубость, наличие асимптотических решений и др. Для проверки адекватности рекомендуют выполнение следующих действий [Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. – М.: Физматлит. – 1994.]: 1) контроль размерностей; 2) контроль порядков; 3) контроль характера зависимостей; контроль экстремальных (предельных) состояний; 4) контроль граничных условий; 5) контроль физического смысла; 6) контроль корректности поставленной задачи (корректно поставленная задача в математике — прикладная задача, математическое решение которой существует, единственно и устойчиво. Происходит от определения, данного Жаком Адамаром).

Этап 5 (прогностическое использование) – достижение целей, которые были поставлены при разработке модели.