Первая теорема подобия

Первая теорема (прямая теорема) подобия. Для того, чтобы системы

и ,уравнения связи которых отвечают условию (2.4), были подобны, необходимо и достаточно, чтобы константы подобия удовлетворяли соотношениям

. (2.5)

Доказательство.

Разделим (2.2) на , а (2.3) на :

, (2.6)

. (2.7)

Используя условие (2.4), преобразуем (2.7):

.

Из последнего выражения, с учетом (2.5), получаем (2.6). Отсюда вытекают равенства:

…. .

Из теоремы подобия вытекает важное следствие: все отношения между функциями в любой из подобных систем не завися от преобразований подобия (являются инвариантами преобразования), т.е. не зависят от констант подобия :

. (2.8)

Отношения (2.8) называются инвариантами подобия.

Результаты теоремы, доказанной для случая двух систем, обобщаются и на случай систем в виде:

.

где idem означает «одинаково».

2.3. Преобразование подобия для моделей,
представленных дифференциальными уравнениям

Преобразования подобия математических моделей систем, представленных дифференциальными уравнениями, производят с целью перехода к другим масштабам величин (переменных и времени) при моделировании процессов. Особенно это актуально при использовании аналоговых вычислительных машин (АВМ), где модели реализуются в виде электронных схем из операционных усилителей. При моделировании на цифровых компьютерах это не столь актуально, однако и здесь иногда возникает необходимость масштабирования переменных и времени моделирования.

Рассмотрим модель в виде линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

.

Для модели с теми же коэффициентами, но другими переменными, имеем:

Преобразования подобия имеют вид: , . После подстановки получаем подобную модель:

,

где . Т.е., получена модель для масштабированных переменных и времен.

Применяя подобное преобразование ( , ) для неоднородной модели

,

получим модель

,

где , , , .