Бейтарап (нейтрал) және кері элементтер. Кері амалдар

Айталық жиынында бинарлық амал берілсін.

Анықтама. Егер кез келген элементі үшін элементі табылып

теңдігі орындалатын болса, онда элементі берілген амалға қатысты бейтарап (нейтрал) элемент деп аталады.

Мысал 2.1.4. жиынында 1 саны көбейту амалына қатысты бейтарап элемент, жиынында 0 саны қосу амалына қатысты бейтарап элемент, ал екінші ретті нөлдік матрица – екінші ретті барлық матрицалар жиынында матрицаларды қосу амалына қатысты бейтарап элемент болып табылады. Басқаша жағынан, бүтін оң сандар жиынының формуласымен берілген амалға қатысты бейтарап элементі жоқ.

Бұл мысалдар, бейтарап элементтің жалғыз болуы немесе мүлдем болмауы мүмкін екенін көрсетеді.

Айталық жиынының қандай да бір бинарлық амалға қатысты бейтарап элементі бар болсын.

Анықтама. элементі элементі үшін кері элемент деп аталады, егер

және

теңдіктері орындалатын болса.

Анықтамадан, егер элементі элементі үшін кері элемент болса, онда элементі элементі үшін кері элемент болып табылатыны шығады.

бейтарап элементі өзіне өзі кері элемент болады, оның басқадай кері элементтері болмайды.

Мысал 2.1.5. жиынындағы көбейту амалына қатысты (бейтарап элементі 1 саны болып табылады) нөлден өзгеше кез келген элементі үшін кері элемент саны болып табылады және ол біреу ғана болады.

0 санының кері элементі жоқ, өйткені ешқандай саны үшін теңдігі орындалмайды.

Егер көбейту амалын тек оң нақты сандар жиынында қарастырсақ, онда барлық элементтердің бірден-бір кері элементтері бар болады.

жиыны қосу амалына қатысты (бейтарап элементі - 0 саны) жүйе болып табылады, оның әрбір элементінің бір кері элементі бар: .

Екінші ретті матрицалар жиынында матрицалық көбейту амалына қатысты (бейтарап элемент – бірлік матрица) әрбір азғындалмаған матрицасы үшін жалғыз ғана кері элемент - матрицасы бар болады, өйткені: , бірақ ешқандай азғындаған матрицаның кері элементі болмайды.

Кері элемент ұғымымен кері амал ұғымы тығыз байланысқан.

Анықтама. жиынындағы амал кері амал деп аталады, егер жиынының элементтері үшін әрбір

және

теңдеулерінің жалғыз бір ғана шешімдері бар болса.

Мысал 2.1.6.Барлық нақты сандар жиынында (сонымен қатар барлық рационал сандар жиынында немесе барлық бүтін сандар жиынында) қосу амалының кері амалы бар, ал бүтін теріс емес сандар жиынында кері амалы жоқ (егер болса, онда теңдеуінің бүтін теріс емес шешімі болмайды).

жиынында көбейту амалының кері амалы бар, бірақ жиынында кері амалы жоқ, өйткені теңдеуі шешілмейтіндік болып табылады.