Топ ұғымы, мысалдар. Топтың қарапайым қасиеттері

Анықтама. Ассоциативтік және кері амалы анықталған бос емес жиыны берілген амалға қатыстытоп деп аталады.

Басқаша айтқанда, ассоциативтік амалымен жиыны топ болып табылады, егер кез келген екі және элементтері үшін әрбір

және

теңдеулерінің жалғыз бір ғана шешімдері бар болса.

Топ анықтамасындағы кері амалдың болуы шартын келесі шарттармен ауыстыруға болады:

1⁰. Кез келген элементі үшін

,

теңдіктері орындалатындай жиынында бейтарап элементі бар болады.

2⁰. Әрбір элементі үшін

,

теңдіктерін қанағаттандыратын кері элементі бар болады.

Әдетте кері амалдың болу шартының орнына 1⁰, 2⁰ шарттарды тексерген ыңғайлы.

Сонымен, жиынында амалы анықталып, ол төмендегі үш шартты қанағаттандырса, онда жүйені топ деп атайды:

,

,

.

Бұл қасиеттерді топтың аксиомалары деп атайды.

Мысал 2.1.7

а) оң нақты сандар жиыны көбейту амалына қатысты топ құрайды, өйткені көбейту амалы ассоциативті, 1 саны – бейтарап элемент (кез келген саны үшін ) болып табылады және әрбір саны үшін -ге тең кері саны бар болады. Бұл топ оң нақты сандардың мультипликативтік тобы деп аталады. «multiplicatio» (латын сөзінен шыққан) мағынасы - «көбейту» дегенді білдіреді.

ә) Барлық нақты сандар жиыны қосу амалына қатысты топ құрайды, өйткені қосу амалы ассоциативті, 0 саны - бейтарап элемент (кез келген саны үшін ) болып табылады және кез келген саны үшін қарама-қарсы саны (яғни ) кері элемент болады. Бұл топ нақты сандардың аддитивтік тобы деп аталады. «additio» (латын сөзінен шыққан) мағынасы - «қосу» дегенді білдіреді.

б) Арифметикалық -өлшемді векторлық кеңістік векторларды қосу амалына қатысты топ құрайды, өйткені бұл амал ассоциативті, нөлдік векторы – бейтарап элемент, векторы үшін векторы кері элемент болып табылады.

Мультипликативтік топта: бейтарап элементті топтың бірлігі деп атайды; элементі үшін кері элементті деп белгілейді; көбейту амалын және оны элементтеріне қолдану нәтижесін арқылы белгілейді. Бұл мультипликативтік терминология деп аталады.

Аддитивтік топта: бейтарап элементті топтың нөлі деп атайды; элементі үшін кері элементті -ге қарама-қарсы арқылы белгілейді; қосу амалын және оны элементтерімен арқылы белгілейді. Бұл аддитивтік терминология деп аталады.

Коммутативтік амалы бар топты коммутативтік топ деп атайды.

Шектеулі элементтер санынан тұратын топты ретті шекті топ деп атайды, ал шектеусіз элементтер жиыны бар топты шексіз топ деп атайды.

Практикада көп жағдайларда топтың негізгі амалы қосу (+) амалымен кезігеді. Бұл жағдайда топты аддитивті топ деп атайды.

Ал көбейту ( ) немесе көбейтуге ұқсас амалмен берілген топтарды мультипликативті топтар деп атайды. Сан жиындарында аддитивті топтың бірлігі 0 (ноль) болады да, мультипликативті топтың бірлігі 1 (бір) болады. Бұл екі жазылудың айырмашылығы мына кестеде көрсетілген:

	Амал	Бейтарап элемент	Кері элемент
Жалпы жағдай		- бірлік	- кері
Мультипликативті	көбейту	1 - бірлік	- кері
Аддитивті	+ қосу	0 – ноль	- қарама-қарсы

Мультипликативті жағдайда топ аксиомалары мына түрде жазылады:

,

,

.

Мультипликативтік топтың қарапайым қасиеттері:

1⁰. Бірлік элемент біреу ғана болады: 1 – біреу ғана;

2⁰. Кез келген элементтің кері элементі біреу ғана болады: - біреу ғана;

3⁰. Кері элементтің керісі берілген элементтің өзіне тең болады: ;

4⁰. Егер болса, онда теңдеулері бір ғана шешімді болады;

5⁰. Егер ; 6⁰. ;

7⁰. ;

8⁰. а) ; б) ;

9⁰. Егер деп белгілесек, онда болады.

Аддитивті жағдайда топ аксиомалары мына түрде жазылады:

,

,

.

Абельдік топтар үшін болады.

Аддитивтік топтың қарапайым қасиеттері:

1⁰. 0 – біреу ғана; 2⁰. - біреу ғана;

3⁰. ;

4⁰. теңдеулерінің бір ғана шешімді болады;

5⁰. ; 6⁰. ;

7⁰. ;

8⁰. а) ; б) ;

9⁰. болады және .

Ішкі топтар

Айталық жиыны қандайда бір бинарлық амалға қатысты топ болсын.

Анықтама. тобы үшін ішкі жиыны беріліп, ол тобындағы амалға қатысты топ құрайтын болса, яғни жүйесі топ болса, онда топты тобының ішкі тобы деп атайды.

Мысал 2.1.8. оң рационал сандар жиыны көбейту амалына қатысты топ құрайды, сондықтан ол оң нақты сандар мультипликативтік тобының ішкі тобы болып табылады.

бүтін сандар жиыны қосу амалына қатысты топ құрайды және ол нақты сандар аддитивтік тобының ішкі тобы болып табылады.

элемент тобының бірлік элементі бір элементті жиын топ болады. Ол топтың ішкі тобы. Кез келген топты өзінің ішкі тобы деп қарастыруға болады. мен топтарын топтың айқын ішкі топтары деп атайды. Ал басқа ішкі топтарын айқын емес ішкі топ деп атайды.

Ескерту. жиынның кез келген ішкі жиыны топ бола алмайды.

ішкі жиыны топ болуы үшін және

1) ;

2) шарттары орындалуы керек.

Сонымен, тобы және топтарының ішкі тобы болады. тобы тобының ішкі тобы болады.

Мысал 2.1.9. жұп сандар жиынын деп белгілесек. жүйесі топтың ішкі тобы болады. 1) мен 2) шартты тексерсе жеткілікті.

1) ,

2) .

Ішкі топ болатын шартты қанағаттандырады.

Мысал 2.1.10. оң нақты сандар жиыны. жүйесі топтың ішкі тобы болады:

1) ,

2) .

Ескерту. Тақ сандар жиыны топтың ішкі тобы бола алмайды. Себебі екі тақ санның қосындысы мен айырмасы жұп сан болады. ■