Метод комплексных амплитуд .

Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют монохроматическими. В буквальном переводе «монохроматический» означает «одноцветный». Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты. Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд.

Если некоторая величина u(t) изменяется во времени по закону

u(t) = u_mcos(ωt + φ)

то говорят, что происходят гармонические колебания, причем u_m называется амплитудой, ω – круговой частотой, а аргумент косинуса ωt + φ – фазой колебания (полной фазой); последняя, если это требуется, приводится к значению, лежащему в пределах 0 ÷ 2π или – π ÷ π; величину φ называют начальной фазой ( а также фазовым сдвигом или просто фазой) Наименьший отрезок времени T, обладающий тем свойством что для любого момента t

u(t + T) = u(t),

есть по определению, период колебаний, а число периодов в секунду – частота, обозначаемая f. Очевидно

.

В теории электромагнитного поля встречаются, в частности, скалярные функции координат и времени вида

u(r,t) = u(x,y,z) = u_m(r) cos[ωt + φ(r)],

описывающие гармонические колебания в пространстве с амплитудами и фазами, которые могут изменяться от точки к точке. Три такие скалярные функции иногда являются компонентами вектора в декартовой или иной системе координат. Такой вектор может быть представлен в виде:

V(r,t) = x₀V_mx(r) cos[ωt + φ_x(r)] + y₀V_my(r) cos[ωt + φ_y(r)] +z₀V_mz(r) cos[ωt + φ_z(r)].

В частности, если φ_x = φ_y = φ_z, т.е., как говорят, все компоненты вектора колеблются «в одной фазе», то

V(r,t) = V_m(r) cos[ωt + φ(r)],

где V_m(r) = x₀V_mx(r) + y₀V_my(r) +z₀V_mz(r) – амплитуда колеблющегося вектора. В дальнейшем в подобных выражениях для краткости будем опускать аргументы (r,t) и (r).

Введем комплексную функцию , где i– мнимая единица (i² = –1), множитель называется комплексной амплитудой колебаний. Для перехода от комплексной функции к функции u нужно взять от реальную часть

Как видно, в комплексном представлении мы имеем произведение функции координат и функции времени e^iωt. Совершенно аналогично

где комплексная амплитуда (функция координат) есть

,

а в частном случае

.

Комплексная амплитуда несет информацию как об амплитуде так и о начальной фазе колебаний (трех начальных фазах в общем случае вектора).

Пусть имеется линейное уравнение

L (V) = F, ( 1 )

где V– неизвестная векторная функция вида, L – некоторый линейный вещественный дифференциальный или интегральный оператор, а F заданная векторная функция того же вида, что и V:

F = x₀F_mx cos(ωt + φ_x) + y₀F_my cos(ωt + φ_y) +z₀F_mz cos(ωt + φ_z).

Заметим, что векторное уравнение взято в качестве более общего случая, и все дальнейшие рассуждения применимы и к скалярным уравнениям.

Рассмотрим новое уравнение:

. ( 2 )

В силу линейности оно распадается на два уравнения относительно действительных и мнимых частей входящих функций

,

причем первое из этих уравнений не отличается от (1), поскольку и . Это означает, что вещественная часть решения уравнения (2) удовлетворяет первоначальному уравнению (1).

Очевидно, что вместо (1) можно решать уравнение (2) и затем разыскиваемую функцию V получать как вещественную часть найденного решения . Преимущество такого подхода – в исключении временной зависимости. Действительно, операции дифференцирования и интегрирования по времени под знаком оператора L в (2) сводятся к умножению и, соответственно, делению функции на iωt так что

,

где L_ω – зависящий от ω оператор, который выражает либо дифференцирование или (и) интегрирование по координатам. Внося это в (2) и исключая слева и справа общий множитель e^iωt, имеем:

. (3)

Таким образом, вместо первоначального уравнения (1) относительно функции координат и времени V(r,t) получили уравнение (3) относительно комплексной амплитуды , функции координат.

Метод комплексных амплитуд состоит в том, что заданное уравнение типа (1) приводится к виду (3), а после того как оно решено, и функция координат найдена, разыскиваемая функция координат и времени V(r,t) получается как вещественная часть от .

Средние значения

Говорят, что величина u(t₁) есть «мгновенное значение» функции u(t) для момента t₁. Но часто представляет интерес также среднее значение F, под которым понимают

.

Очевидно, в частности, что для F= u