Обобщенный метод наименьших квадратов при построении модели регрессии по временным рядам

Методы устранения автокорреляции в остатках могут быть разные. Они зависят от причин автокорреляции. Автокорреляция в остатках может быть следствием неправильной спецификации модели: не учтена важная объясняющая переменная, неправильно выбрана форма связи. В этом случае можно попытаться изменить математическую функцию регрессии (например, линейную на степенную), уточнить набор объясняющих переменных. Однако если эти попытки не увенчались успехом и автокорреляция в остатках имеет место, то для ее устранения можно применить обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

ОМНК можно использовать как для парной, так и для мно­жественной регрессии. Для простоты и уяснения сути пробле­мы рассмотрим регрессию двух временных рядов

yt=a + bxt+ . (5.22)

Для периода времени (t -1) справедливо равенство

yt-1=a + bxt-1+ . (5.23)

Если имеет место автокорреляция в остатках, т.е. последу­ющие по времени остатки зависят от предыдущих, то регрес­сия остатков может быть представлена как

(5.24)

где Vt — случайная ошибка для линейной регрессии остатков.

Но так как то и . Полагая, что имеем Тогда регрессия остатков примет вид

(5.25)

Параметр d определим по формуле

(5.26)

где

В результате получим, что . Предполагая, что , можно записать, что

, (5.26)

т.е. d — коэффициент автокорреляции остатков первого по­рядка. Обозначим его через ρ. Тогда регрессия остатков при­мет вид

(5.27)

где ρ — коэффициент автокорреляции остатков первого порядка; Vt — случайная ошибка, удовлетворяющая всем предпосылкам МНК.

Предполагая, что ρ известен, вычтем из уравнения (5.23) уравнение (5.22), умноженное на ρ:

(5.28)

Введём обозначения:

Тогда получим следующее уравнение

у* =а +bx*+ , (5.29)

где Vt — независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение.

Так как ошибки Vt удовлетворяют предпосылкам МНК (они не содержат автокорреляцию), то оценки и будут обла­дать свойствами несмещенных оценок и могут быть получе­ны обычным МНК.

Уравнение (9) возможно только при t> 1, так как при t = 1 отсутствует лаговая переменная. Чтобы не уменьшать чис­ло степеней свободы рекомендуется для первого периода вре­мени (t = 1) использовать поправку ПрайсаУинстена

(5.30)

Таким образом, ОМНК предполагает, что вместо исходных переменных yt и xtиспользуются взвешенные переменные и ,

где P – веса. В матричном виде модель регрессии принимает вид PY = PXB + P .

В ней матрица ве­сов Р составит

 

Иными словами, матрица исходных данных трансформи­руется

Для длинных динамических рядов поправка Прайса — Уинстена может не применяться. Тогда матрица весов не со­держит первую строку рассмотренной матрицы Р, и в расчетах используется (n-1) преобразованных наблюдений и .

К преобразованным переменным и применяется традиционный МНК и оцениваются параметры и . Далее из со­отношения можно найти параметр как

(11)

ОМНК распространяется и на случай множественной рег­рессии

Если имеет место автокорреляция остатков и то

Или, исходя из прежней символики, строим модель вида

(5.31)

Применяя к переменным традиционный МНК, найдем оценки параметров . Свободный член модели определим как Далее можно написать искомую модель регрессии yt =a + blxlt + ...+bpxpt, в которой устранена автокорреляция остатков.

Иными словами, применение ОМНК к регрессии с автокоррелированными остатками сводится к двухшаговой про­цедуре:

— преобразование исходных уровней динамических рядов с помощью известного значения коэффициента автокорреляции остатков первого порядка р;

— применение к преобразованным данным обычного МНК.

 








Дата добавления: 2016-03-22; просмотров: 2116;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.