Го порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида
,
где - известная функция, называющаяся линейными дифференциальным уравнением n-2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Если то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Если f(x) – непрерывная функция, то общее решение уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Решение однородного уравнения
можно найти, используя алгебраические методы. Для этого заменяем производные на степенные функции, показатель степени которых соответствует порядку производной. Получаем характеристическое уравнение вида
.
Общее решение однородного уравнения определяется в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
Правило 1. (корни характеристического уравнения простые и действительные).Если корни характеристического уравнения различные действительные числа , то общее решение уравнения имеет вид: , где - произвольные постоянные.
Правило 2. (корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные).Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные числа то общее решение уравнения имеет вид: , где - произвольные постоянные.
Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные).Если корни характеристического уравнения равные действительные числа , то общее решение уравнения имеет вид: ,где - произвольные постоянные.
Частное решение неоднородного уравнения может быть подобрано по виду правой части. Если правая часть – постоянная величина, то частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
- , если нуль является корнем характеристического уравнения;
- , если нуль не является корнем характеристического уравнения.
Здесь А произвольная постоянная, для определения значения которой частное решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Дата добавления: 2016-03-22; просмотров: 537;