Экстремум функции двух независимых переменных
Функция z = f(x, у) имеет максимум (минимум)в точке , если значение функции в этой точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями функции из окрестности точки .
Максимумы и минимумы функции называются экстремумами,а точка – экстремальной точкой.
Теорема(необходимые условия экстремума). Если z = f(x, у) дифференцируемая функция и достигает в точке М0(х0, у0) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:
, .
Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическимиили стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.
Пусть – стационарная точка функции z= f(x, у). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке :
; ; ,
а затем дискриминант = АС — В2. Тогда достаточные условия экстремумафункции z = f(x, у) в стационарной точке М0(х0, у0) запишутся в следующем виде:
1) >0 – экстремум есть, при этом, если А>0 (или С>0 при А=0) в точке функция имеет минимум, а если А<0 (или С<0 при А = 0) – максимум;
2) < 0 – экстремума нет;
3) = 0 – требуются дополнительные исследования.
Дата добавления: 2016-03-22; просмотров: 489;