ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Производная и дифференциал функции

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при стремлении последнего к нулю, называется производной функции в точке :

.

Из определения производной следует, что она представляет собой скорость изменения функции. В этом состоит ее механический смысл. В частности, скорость неравномерного прямолинейного движения есть скорость изменения расстояния по отношению ко времени:

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке (х, f(x)), т. е. f ¢(x) = tg a.

Если функция y=f(x) имеет производную f¢(х) в точке х, то произведение производной f`(x) на приращение аргумента называется дифференциалом функции:

Дифференциал dx независимой переменной совпадает с ее приращением . Поэтому можно записать: dy=f `(x)dx. Отсюда следует, что т. е. производную f `(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Производные основных элементарных функций:

1. ;

2. ;

3. , ;

4. , , , ;

5. ; .