Динамика поступательного движения материальной точки и механической системы в инерциальных системах отсчета

Инерциальной системой отсчета (ИСО) называется такая, в которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, покоится или движется равномерно и прямолинейно. Экспериментально установлено, что практически инерциальна гелиоцентрическая система отсчета, начало координат которой находится в центре масс Солнечной системы, т.е. на Солнце, а оси проведены в направлении трех удаленных звезд, выбранных так, чтобы оси координат были взаимно перпендикулярны.

Содержание первого закона Ньютонасводится к двум утверждениям: во-первых, что существуют ИСОи во-вторых, что все тела обладают свойством инертности.

Второй закон Ньютона вИСОгласит: dp/dt первая призводная от вектора p импульса материальной точки или механической системыпо t времени равен действующему на нее вектору F силы, которое с учётом(1.12) вектора a мгновенного ускорением материальной точки и постоянства m массы имеет место следующий вид: dp/dt = F ↔ d(mv)/dt =F ↔ ma= F, (1.42)

где m, v и a = dv/dt = d²r/dt² соответственно масса, векторы скорости и ускорения материальной точки или механической системы;r - ее радиус - вектор.

Вторая формулировка второго закона Ньютонагласит: вектор a ускорения материальной точки или механической системысовпадает по направлению с действующим на нее вектором F силы и равен отношению этого вектора F силы к m массе материальной точки.

Вектором Fdtимпульса силыназывается произведение вектора F силы на элементарный dtпромежутоквремени, в течение которого этот вектор F силыдействует на материальную точку или механическую систему. Согласно второму закону Ньютона(1.42)элементарное приращение вектора dp импульса за dt элементарный промежутоквремени материальной точки или механической системыравновектору Fdtимпульса силы, действующемуза этот dt элементарный промежутоквремени на этуматериальную точку или механическую систему.

Приращение вектораΔp импульса материальной точки или механической системызаинтервалвремениΔt = t₂ - t₁ времени, за который произошло это приращение вектораΔp импульса материальной точки или механической системы, с учётом (1.42) имеет следующий вид: t₂ t₂

dp = Fdt ↔ Δp = p₂ - p₁ ↔ Δp = ∫dp↔ Δp =∫Fdt, (1.43)

t₁ t₁

где p₁ и p₂ - векторы импульсов материальной точки или механической системы соответственно в момент t₁ времени начала и в момент t₂ времени окончания действия вектора F силы, действующего на эту материальную точку или механическую систему.

Если на материальную точку m массой одновременно действуют несколько векторов F₁, F₂, …, F_n сил, то её вектор a ускорения с учетом выражения (1.36) равнодействующеговекторасилы имеет следующий вид: n n n

a = (∑F_i)/m =∑F_i/m =∑a_i. (1.44) i = 1 i = 1 i = 1

Согласно принципу независимости действия силкаждый из векторов F₁, F₂, …, F_n сил, одновременно действующих на материальную точку или механическую систему, сообщает ей такое же ускорение a₁=F₁/m, a₂=F₂/m,…, a_n=F_n/m, как если бы других сил не было.

Подставляем (1.12) вектор a мгновенного ускорением материальной точки или механической системы во (1.42)второй законНьютонав ИСО и получаем выражение связи вектора a ускорения материальной точки или механической системы m массой с вектором (рис. 1.12) F_рравнодействующейсилы, приложенной к этой материальной точке или механической системе, которое учетом выражения (1.36) равнодействующеговекторасилы имеет следующий вид:

n

ma = m(d²r/dt²) = F_р = ∑F_i. (1.45)

i = 1

Дифференциальное уравнение (1.45) движения материальной точки или механической системы m массой с учётом F_рx, F_рy и F_рz проекций на оси прямоугольной декартовойсистемы координат вектора F_р равнодействующей силы, а также с учетом (1.13) проекций a_x, a_y и a_z как вторых d²x/dt², d²y/dt² и d²z/dt² производных x, y и z координат этой движущейся под действием вектора F_р равнодействующей силы материальной точки или механической системы m массой, имеет следующий вид: m(d²x/dt²)i + m(d²y/dt²)j + m(d²z/dt²)k = F_рxi +F_рy j + F_рzk ↔

↔ m(d²x/dt²) =F_рx; m(d²y/dt²)=F_рy; m(d²z/dt²) = F_рz. (1.46)

Если F_ik- вектор силы, действующий на i - уюматериальную точку механической системысо стороны k-ойматериальной точки, а F_ki - вектор силы, действующий на k-ую материальную точкусо стороны i-ой, то согласно третьему закону Ньютона(рис. 01.0.14) имеет место следующее выражение:

F_ik = -F_ki. (1.47)

Из третьего законаНьютона следует, что в любой механической системе геометрическаясумма всех внутренних сил равна нулю,

 

вследствие чего имеет место следующее выражение: n n ∑ ∑F_ik = 0,(1.48)

i = 1 k = 1

где n - число материальныхточек, входящих в состав механической системы, а F_ii = 0. Для (рис.1.14) случая движения брусков под воздействием вектора F внешней силы, связанных между собой нерастяжимой невесомойнитью, по гладкой поверхности внутренними силами являются силы натяжениянити между соседнимибрусками. Силы натяжения нитей между соседними брусками являются внутренними силами, вследствие чего имеет место следующее выражение: F₁₂ = - F₂₁; F₂₃ = -F₃₂. (1.49)

С учетом F₁₁ = 0, F₂₂ = 0, F₃₃ = 0, а также пренебрегая гравитационнымвзаимодействием между брусками m₁, m₂ и m₃ массы, выражение (1.48) для рис.1.14принимает следующий вид:

F₁₂ +F₂₁ + F₂₃ + F₃₂ = 0.(1.50)

 

1.2. Лекция 3. Закон сохранения импульса.