Механическое движение, система отсчета

Положение тела в пространстве можно определить только по отношению к другим телам. Например, имеет смысл говорить о положении планеты по отношению кСолнцу, самолета или теплохода по отношению к Земле, но нельзя указать их положение в пространстве "вообще", безотносительно к какому-либо конкретному телу.

Абсолютно твердое тело, с которым жестко связана система координат, снабженная часами и используемая для определения положения в пространстве исследуемых тел и частиц в различные моменты времени, называется системой отсчета.

Наиболее употребительна прямоугольная декартова система координат, ортонормированный базис которойобразовантремя единичными по модулюивзаимно ортогональными векторами i, j и k, проведенными из O начала координат. Положение материальнойM точкихарактеризуется r радиусом - вектором, соединяющим O начало координат с этой M точкой.

Вектор r раскладывается по базису i, j и k, вследствие чего имеет место следующее выражение: r = xi +yj + zk, (1.1) где xi, yj и zk - составляющие r вектора по осям координат. Коэффициенты разложения x, y и z представляют собой декартовы координаты Mточки, называемые также (рис. 1.1) координатами

r радиуса - вектора. В силу ортогональности векторов i, j и k базиса координаты x, y и z равны проекциям r радиуса - вектора на соответствующие оси координат.

1. 1.2 Кинематика материальной точки и абсолютно твердого тела: кинематические уравнения движения; траектория; путь и перемещение; мгновенные скорость и ускорение при прямолинейном и криволинейном движении; центр кривизны; угловая скорость, нормальное и тангенциальное ускорения при вращательном движении

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывныеи однозначные функции t времени, т.е. имеют место следующие выражения: x=x(t), y=y(t) и z=z(t),(1.2)описывающие изменение координат точки соtвременем. Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки или параметрическимиуравнениями.

ВекторомΔrперемещения(рис. 1.2) за промежуток времени от t=t₁ до t=t₂ называется вектор, проведенный из положения Mматериальной точки в t₁момент в ее положение в t₂момент времени. Длина путиΔS, пройденного M материальной точкой из ее начального положения, является скалярной функцией t времени ΔS, причем ΔS является положительнойвеличиной. При движении

Mматериальной точки по дугеTтраекториииз 1 положения в 2 положение за Δt = t₂- t₁ промежуток времени она проходит путь ΔS = 12. Радиусы - векторы r₁ и r₂, характеризующие положения M материальной точкой соответственно в моменты t₁, t₂времени, когда она находится соответственно в1 и 2 положениис учетом (1.1) имеют следующие значения: r₁ = x₁i + y₁j + z₁k; r₂ = x₂i + y₂j + z₂k. (1.3)

Согласно определению вектора Δr перемещениякак разности r₂- r₁соответственно r₂конечного и r₁начальногорадиусов - векторов, а также с учётом (1.3) имеет место следующее выражение: Δr = r₂- r₁= (x₂- x₁)i + (y₂ - y₁)j + (z₂- z₁)k = Δr = Δxi + Δyj +Δzk.(1.4)

Мгновенной скоростьюMматериальной точки (рис.1.2) называется v векторная величина, равная первой производной по t времени от r радиуса - векторарассматриваемой точки и имеющая следующее значение: v = limΔr/Δt = dr/dt. (1.5) Δt→0

При стремлении промежутка Δt = t₁- t₂временик нулю, за который (рис.1.2)

Mматериальная точка

перемещается из 1 в 2 положение, модуль Δr вектора Δr перемещения стремится к приращению ΔS пути, вследствие чего имеет место следующее выражение:

limΔr = limΔS ↔ dr = dS.(1.6) Δt→0 Δt→0

Подставляем (1.6) в (1.5)и получаем следующее выражение модуляvвектораv мгновенной скоростиMматериальной точки, который равен первой производной от S длины пути по t времени:

v= limΔS/Δt = limΔr/Δt ↔v= dr/dt = dS/dt. (1.7) Δt→0 Δt→0

Подставляем (1.1) в (1.5) и получаем (рис. 01.0.3) следующее выражение вектора v скоростиMматериальной точки впрямоугольной(рис.1.1) системе координат,начало O координат которой совмещено с этой Mматериальной точки:

Модуль vвектора v скоростиMматериальной точки(рис. 01.1.3) имеет следующий вид: v = (v_x²+ v_y² + v_z²)^1/2 . (1.10) Производим интегрирование в(1.7) и получаем следующее выражение S пути:

v = d(xi +yj + zk)/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k = v_xi + v_yj + v_z k (1.8) Проекции v_x, v_y, v_z вектора v мгновенной скорости Mматериальной точки (рис.1.3) на оси координат имеет с учетом (1.8) следующий вид: v_x = dx/dt; v_y = dy/ dt; v_z = dz/dt.(1.9)

t₂

dS = vdt ↔ S = ∫v dt. (1.11) t₁

Согласно (1.11) S путь, проходимый Mматериальной точки за от t₁ до t₂промежуток времени, равен определенному интегралу от модуля vвектора v скорости по t времени.

Для характеристики быстроты изменения вектора v скороститочки в механике вводится понятие ускорения. Мгновенным ускорениемточки называется a векторная величина, равная первой производной по t времени от вектора v скоростирассматриваемой Mматериальной точки или с учетом (1.5) - второй производнойпо t времени от r радиуса - вектора этой Mматериальной точки, вследствие чего имеет место следующее выражение: a = dv/dt = d²r/dt². (1.12)

Подставляем (1.1) в (1.12) и получаем выражение вектора a ускорения перемещающейся Mматериальной точки как функцию от d²x/dt², d²y/ dt² и d²z/ dt²вторых производныхx,y и z координат этой перемещающейся Mматериальной точки по t времени, как функцию от dv_x/dt, dv_y/dt и dv_z/dtпервых производных по t времени (рис.1.3) проекций v_x, v_y и v_z вектора v скоростина оси координат, а также получаем следующее выражение вектора aускорениякак функцию от проекций a_x, a_y и a_z этого вектора aускорения перемещающейся Mматериальной точкина оси прямоугольной(рис.1.1) системы координат:

a = d²(xi +yj + zk)/dt²=(d²x/ dt²)i + (d²y/ dt²)j + (d²z/ dt²)k = (dv_x/dt)i + (dv_y/dt)j + (dv_z/dt)k = = a_xi + a_yj + a_zk, (1.13)

где a_x = dv_x/dt = d²x/dt²; a_y = dv_y/dt = d²y/ dt²; a_z = dv_z/dt = d²z/dt².

Модульaвектораa ускоренияпо аналогии с (1.10) имеет с учетом (1.13) следующий вид:

a=( a_x²+ a_y² + a_z²)^1/2 = [(dv_x/dt)²+(dv_y/dt)² +(dv_z/dt)²]^1/2 = [(d²x/dt²)²+(d²y/ dt²)² +(d²z/ dt²)]^1/2. (1.14)

При прямолинейном (рис. 01.0.4) движении Mматериальной точки с изменяющимся воtвременимодулемv вектора v скоростиv₁, v₂, v₃, … в моменты t₁, t₂, t₃, …времени

соответственно существует только вектор a_τ тангенциальногоускорения, направленный по τ единичному векторуи имеющий следующий вид: a_τ = (dv/dt)τ, (1.15) где τ = v/v- единичный вектор, направленный по вектору v скорости; dv/dt = a_τ – проекция вектора a_τ тангенциальногоускорения на направление τ единичного вектора.

При равномерном (рис.1.5) движении Mматериальной точки по окружности R радиуса с

O центромс постоянным по v_τ модулювекторомv_τ линейной скорости, направленным по касательному к окружности τ единичному вектору, меняется только направление этоговектора

по касательному к окружности τ единичному вектору, меняется только направление этоговектора

v_τ линейной скорости. В этом случае (рис.1.5) M материальная точка имеет только

вектор a_n нормального ускорения, определяемый следующим выражением: a_n =( v_τ²/R)n,(1.16) направленный к центру окружности R радиусом по n единичному вектору.

В общем случае (рис.1.6) при T криволинейной траектории движения Mматериальной точки, имеющей в произвольный момент времени S центр R_S радиус кривизны траектории, с переменным по времени вектором v_τ тангенциальной скорости вектор a ускорения раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие, вследствие чего имеет место следующее выражение: a = a_τ + a_n, (1.17) где a_τ - вектор тангенциального ускорения и a_n - вектор нормального ускорения.

Поступательнымдвижением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, например, АВ прямая на рис.1.7, перемещаясь с телом, остаётся параллельной своему первоначальному А₀B₀ направлению. Поступательно движутся относительно Земли, например, кабина.

лифта, резец токарного станка. Кинематическое рассмотрение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения любойиз его точек.

Движение твердого тела, при котором точки, находящиеся (рис. 1.8) на OZ оси, неподвижны, называется вращениемтела вокруг этой неподвижной OZ оси. Вектором угловойскорости вращениятвердого телавокруг, например, неподвижной OZ оси называют вектор ω, который равен первой производной от вектора φ угла поворота A точкиэтого твердого тела по t времени и направлен вдоль неподвижной OZ осивращения так, , чтобы из его

конца вращение тела было видно происходящим против часовой стрелки, поэтому для вектора ω угловойскорости имеет место следующее выражение: ω= dφ/ dt.(1.18) Вращениетела называется равномерным, если модуль ω вектора ω угловой скорости не изменяется с течением времени, т.е. ω= const.

Равномерноевращение характеризуется T периодом обращения, под которым понимают время, за которое тело поворачивается на 2π угол. С учетом (1.18) модуль ω вектора ω угловойскорости приравномерномвращении, который называют также циклической частотой вращения имеет следующий вид: ω =2π/T. (1.19)

Число оборотовв единицу времени или nчастота вращенияс учетом (1.19) имеет следующий вид: n = 1/T = ω/2π, (1.20) где модуль ω вектора ω угловойскорости равномерноговращения равен φ углуповорота тела в радианах за единицу времени.

Вектор ω угловойскорости вращенияможет изменяться как за счет уменьшенияили увеличенияего ω модуля, так и за счет переориентациинаправления этой оси вращения в пространстве. Пусть за Δt время вектор ω угловойскоростивращения получает Δω приращение, тогда вектор β углового ускоренияопределяетсяследующим выражением:

β = lim(Δω/Δt) = dω/dt.(1.21) Δt→0

Отдельные точки вращающегося твердого тела (рис. 01.0.8) имеют различные векторы v_τ линейной скорости, которые непрерывно изменяет свое направление. Пусть за малый Δt промежуток времени (рис.1.9) M материальная точкатвердого телаповернулась по Т траектории вокруг OZ осивращения, представляющей собой окружность R радиуса, на Δφ угол, вследствие чего эта M материальная точка проходит путь ΔS, определяемый из следующего выражения: ΔS = RΔφ.(1.22)

Модуль v_τвектора v_τ линейной скорости, направленным (рис.1.9) по касательному к окружности τ единичному вектору,с учетом (1.7) и (1.22) связан с модулем ω вектора ω угловой скорости при движении Mматериальной точки по окружности R радиуса следующим выражением: v_τ = lim(ΔS/Δt) = lim(RΔφ/Δt) = Rdφ/dt = ωR. (1.23) Δt→0 Δt→0

Положение рассматриваемой Aточки вращающегося вокруг OZ оси неподвижной OZ оси твердого тела свектором ω угловойскорости определяется r радиусом - вектором, проведенным в эту A точку из (рис.1.10) O начала координат.

Модуль|[ ω, r]| векторного произведения [ω, r] имеет следующий вид:|[ ω, r]| = ωrsinα = ωR, (1.24) где R - радиус окружности, по которой движется A точка, α - угол между вектором ω угловой скоростивращения тела и r радиусом - вектором.

Согласно (рис.1.9) вектор v_τ линейной скорости, направленный по касательному к окружности τ единичному вектору,находится в плоскости окружности и перпендикулярен (рис.1.10) R радиусу этой окружности, по которой вращается либо (рис.1.9) M материальная точка, либо (рис.1.10) Aточка твердого тела. Радиус R пересекает (рис.1.10) OZ ось вращения в B точке. На этой же OZ оси находится O точка - начало координат, поэтому r радиус - вектор, направленный из O начала координат в (рис.1.10) Aточку твердого тела, OZ ось вращения, по которой направленвектор ω угловойскорости вращения твердого тела, и R радиус находятся в одной плоскости. Поэтому (рис.1.10) вектор v_τ линейной скорости перпендикуляренплоскости, образованной векторами ω угловойскорости и r радиус - вектор, вследствие чего с учетом (1.24) векторное произведение [ω, r] имеет следующий вид:

[ω, r] = v_τ ↔ |[ ω, r]| = ωR = v_τ.(1.25) т.е. вектор v_τ линейной скоростиданной точки твёрдого тела, вращающегося вокруг, например,

(рис.1.10) OZ оси, с вектором ω угловойскорости, равен векторномупроизведению вектора ω угловойскоростивращения и r радиус - вектора, проведённого из O начала координат, лежащей на OZ оси вращения, в этуточку твёрдого тела.

Вектор v_τ линейной скорости(рис.1.10) точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, перпендикулярен плоскости, образованной вектором ω угловойскорости и

r радиусом - вектором(рис.1.10) точки этого твёрдого тела и направлен в сторону, чтобы из окончания вектора v_τ линейной скоростивращение вектора ω угловойскорости до совмещения с

r радиусом - вектором по кратчайшему пути было видно против вращения «часовой стрелки». Иначе говорят, что векторы ω, rи v_τобразуют правую тройкувекторов. Модуль(рис.1.5) a_n вектора a_n нормального ускорения из (1.16) с учетом (1.23) связан с квадратом ω²модуля ω вектора ω угловойскорости вращения материальной точки по окружности R радиуса следующим выражением:a_n=v_τ²/R = ω²R. (1.26)

С учетом (1.26), (рис.1.10) противоположности направления вектора R радиуса, проведённого из центра B окружности в Aточку, вектору a_n нормального ускорения выражение для этого вектора a_n нормального ускорения принимает следующий вид: a_n = - ω²R = (v_τ²/R)n, (1.27) где n - единичный вектор, коллинеарныйвектору a_n нормального ускорения и направленный с ним в одну сторону.

Модульω вектора ω угловойскорости с учётом (1.23) имеет следующий вид:ω = v_τ/R. (1.28)

Подставляем (1.28) в (1.21) и получаем следующее выражение связи модуля β вектора

β углового ускорения с модулем v_τ вектора v_τ линейной скорости при вращении (рис.1.10) твердого тела вокруг неподвижной оси: β = (dv_τ/dt)/R. (1.29)

С учетом (1.15) связи модуля v_τ вектора v_τ тангенциальной скорости и модуляa_τ вектора a_τ тангенциального ускорения выражение (1.29) принимает следующий вид:

β = a_τ/R ↔ a_τ = βR, (1.30) т.е модуль a_τ вектора a_τ тангенциального ускорения любой точки твёрдого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с модулем β вектора β углового ускорения, равна произведению этого модуля β вектора β углового ускорения на R радиус окружности, по которой вращается эта любая точка твёрдого тела.

1.1.3 Классический закон сложения скоростей и ускорений при поступательном движении подвижной системы отсчёта

В K(x,y,z,t)неподвижной(рис.1.11) инерциальной системе отсчёта(ИСО), в которой материальная точкаили механическая система, свободная от внешних воздействий, покоится или движется равномернои прямолинейно, n - ое положение M_n материальной точкихарактеризуется (рис.1.1) r _n радиусом -вектором, а n+1- ое положение M_n₊₁ этой же материальной точкихарактеризуется r _n+1 радиусом - вектором. В K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системе отсчёта, O′ начало координат которой может перемещаться относительно K(x,y,z,t)неподвижной(рис.1.11) ИСО с

векторами v_O_′, a_O скоростии ускорениясоответственно, n - ое положение M_n материальной точкихарактеризуется r′_n радиусом - вектором, а n+1- ое положение M_n₊₁ этой же материальной точкихарактеризуется r′_n+1 радиусом - вектором. Начало O′ координат K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системе отсчёта в K(x,y,z,t)неподвижной

(рис.1.11) ИСО в n - ом положении характеризуется r_n радиусом - вектором, а в n+1- ом положении характеризуется r _n+1радиусом - вектором.

Материальная M_n, M_n₊₁точка в n -, n+1- ом положениях (рис.1.11) в K(x,y,z,t)неподвижной

ИСО характеризуется соответственно r_n, r _n+1 радиусами - векторами, которые являются результатом сложения следующих радиусов - векторов: r_n = r_n + r′_n; r _n+1=r _n+1+ r′_n+1, (1.31)

где r_n, r _n+1- радиусы - векторы начала O′ координат K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системы отсчёта относительно K(x,y,z,t)неподвижнойИСО, когда материальная M_n, M_n₊₁точка находится в n -, n+1- ом положениях; r′_n, r′_n+1- радиусы - векторы материальной M_n, M_n₊₁точки, находящейся в n -, n+1- ом положениях, в K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системе отсчёта.

За элементарный промежуток dt времени (рис.1.11) M_n материальная точка перемещается в K(x,y,z,t)неподвижнойИСО из n - ого положения в n+1- ое положение M_n₊₁ этой же материальной точки, что характеризуется следующим элементарным dr вектором перемещения: dr = r _n+1- r_n, (1.32) гдеr_n, r _n+1 - радиусы - векторы, определяющие положение материальной точки M_n, M_n₊₁точки в

n -, n+1- ом положениях. Этот элементарный dr вектор перемещения складывается (рис. 01.0.11) из элементарного dr_O_' вектора, на который за элементарный промежуток dt времени перемещается начало O′ координат K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системы отсчёта относительно K(x,y,z,t)неподвижнойИСО, и элементарного dr' вектора, на который за этот же элементарный промежуток dt времени

M_n материальная точка перемещается в K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системе отсчёта из n - ого положения в n+1- ое положение M_n₊₁ этой же материальной точки, вследствие чего элементарный dr вектор перемещения имеет следующий вид: dr = dr_O_'+ dr'. (1.33)

Первые производные по t времени левой и правой частей (1.33) приводит к следующему выражению вектора vскорости M материальной точкив K(x,y,z,t)неподвижнойИСО проекций, являющегося суммой вектора v_O_'скорости начала O′ координат K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системы отсчёта относительно K(x,y,z,t)неподвижнойИСО и вектора v'скорости этой M материальной точкив K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системе отсчёта: dr/dt = (dr_O_'/dt)+ (dr'/dt) ↔v = v_O_'+v'. (1.34)Первые производные по t времени левой и правой частей (1.34) приводит к следующему выражению вектора aускорения M материальной точкив K(x,y,z,t)неподвижнойИСО проекций, являющегося суммой вектора a_O_'ускорения начала O′ координат K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системы отсчёта относительно K(x,y,z,t)неподвижнойИСО и вектора a'ускорения этой M материальной точкив K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системе отсчёта: dv/dt = (dv_O_'/dt)+ (dv'/dt) ↔a = a_O_'+a'. (1.35) Согласно (1.34), (1.35) классическому закону сложения скоростей и ускорений при равенстве нулю вектора a_O_'скоростейпоступательного движении K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системы отсчёта относительно K(x,y,z,t)неподвижнойИСО, т.е. когда a_O_'=0, вектор aскорости M материальной точкив K(x,y,z,t)неподвижнойИСОравен вектору a'скорости этойже M материальной точкив K′(x′,y′,z′,t′) подвижной системе отсчёта, независимо от того, с каким вектором v_O_'скорости поступательно перемещается K′(x′,y′,z′,t′) подвижная система отсчёта относительно K(x,y,z,t)неподвижнойИСО.

<1 234 5 6 7 >

Дата добавления: 2016-02-14; просмотров: 1000;