Элементы теории вероятностей и математической статистики
Для построения портфеля ценных бумаг требуются оценки математических ожиданий эффективности ценных бумаг и ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг. Воспользуемся методами эконометрики для оценки математического ожидания и ковариационной матрицы.
Пусть X – случайная величина, в том числе может быть и эффективность какой-либо ценной бумаги. В статистике и в эконометрике, в частности, удобно использовать понятие генеральной совокупности и выборки.
Генеральная совокупность – это множество всех возможных значений случайных величин X.
Из генеральной совокупности X последовательно выбирается n значений случайных величин . Множество значений случайных величин называется выборкой объема n случайной величины X.
Имея выборку, можно построить оценку математического ожидания или выборочное математическое ожидание в виде среднего арифметического:
(П.1)
или (П.2)
Как связаны выборочное математическое ожидание и истинное математическое ожидание генеральной совокупности?
Пусть генеральная совокупность имеет математическое ожидание и дисперсию . Если предполагать, что производится оценка математического ожидания по формуле (П.1) для всевозможных выборок длины n из генеральной совокупности, то оценка становится случайной величиной. Можно доказать, что математическое ожидание совпадает с истинным математическим ожиданием генеральной совокупности, т. е.:
(П.3)
Действительно, в (П.1) будут случайными величинами с математическим ожиданием .
, где i=1,2…,n
Тогда имеем: ч. т. д.
Свойство (П.3) называют несмещенностью оценки математического ожидания.
Оценка дисперсии может быть произведена по формуле:
(П.4)
или
(П.5)
Расчет удобно производить по формулам:
(П.6)
Оценки (П.4) и (П.6) являются смещенными.
Для дисперсии случайной величины несмещенной оценкой будет:
(П.7)
или (П.8)
Точнее, можно доказать, что , что и означает несмещенность оценки дисперсии (П.7), (П.8). Доказательство этого факта достаточно громоздко и опущено в данном изложении.
Несмещенные оценки необходимо использовать при небольшом объеме выборки.
1) Свойства математического ожидания:
1. , где С – постоянная;
2. , где k постоянный коэффициент;
3. ,
в частности, .
2) Свойства дисперсии:
1. , где c – постоянная;
2. , где k - постоянный коэффициент;
3. , где c – постоянная;
4. ,где vxy – ковариация случайных величин x и y.
Ковариация
Пусть x, y – две случайные величины. Оценка ковариации имеет вид:
(П.9)
или (П.10)
Вычислять ковариацию удобнее по формуле:
(П.11)
Оценка ковариации (П.9), (П.11) смещенная, точнее имеет место . Отсюда следует, что несмещенная оценка для ковариации получится при замене в формулах (П.9), (П.11) множителя 1/n на 1/(n-1) т. е.
(П.12)
Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин x и y. Коэффициентом корреляции называется безразмерная величина равная:
(П.13)
где
;
;
.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: .
При расчете коэффициента корреляции могут быть использованы смещенные и несмещенные оценки, при этом коэффициент корреляции не изменится.
1) Свойства ковариации:
1.
2. , где k - постоянный коэффициент;
3. , где c – постоянная;
2) Свойства коэффициента корреляции:
1. , где c – постоянная;
2. , где c – постоянная;
3. при β>0 при β<0.
Следовательно:
1.
2.
3. .
Не вдаваясь в тонкости математической статистики можно утверждать, что чем больше длина выборки, тем точнее определяются параметры. Если число параметров и объем выборки сравним, то параметры определить невозможно. Если длина выборки в 1,5÷2-10 раз больше числа параметров, то они определяются достаточно точно.
Дата добавления: 2016-03-15; просмотров: 790;