Прямой статистический метод

Для построения портфеля ценных бумаг требуются оценки математических ожиданий эффективности ценных бумаг и ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг.

Если множество ценных бумаг не велико. Например, из множества ценных бумаг выбрано порядка 10÷30 ценных бумаг, то возможен прямой расчет ожидаемой доходности и ковариационной матрицы.

Напомним некоторые особенности статистических оценок параметров. Не вдаваясь в тонкости математической статистики, отметим, что точность оценок тем выше, чем больше имеется исходных статистических данных, и тем ниже, чем больше число оцениваемых величин. Таким образом, точность статистических оценок зависит от соотношения объема статистических данных и количества оцениваемых параметров. Точнее объем статистических данных должен быть больше количества оцениваемых параметров. В противном случае, когда число оцениваемых параметров сравнимо с объемом статистических данных статистическим оценкам нельзя доверять.

Рассчитаем число оцениваемых параметров и объем выборки. Пусть в портфель включено n ценных бумаг. Тогда требуется оценить n математических ожиданий m₁ , m₂ , … m_n , и моментов второго порядка симметричной ковариационной матрицы v_{i j} (i = 1, 2, … n; j = 1, 2, … n). Общее число оцениваемых параметров равно:

Определим объем выборки. Предположим, что для каждой ценной бумаги ежеквартально можно найти эффективность R (см. (5.1)). Период времени, за который можно использовать статистические данные о курсовой стоимости и дивидендах акций не более 25 лет. Дело в том, что экономические условия и даже сам список ведущих компаний за период более 25 лет слишком сильно изменяются, чтобы столь устаревшие данные считать представляющими ту же генеральную совокупность.

При этом длительность ежеквартальных временных рядов R эффективности акций, имеющих смысл для статистической обработки, t = 4·25 = 100. Таким образом, объем выборки для оценок эффективностей n ценных бумаг равен:

M = n·t = 100·n

Для статистической оценки параметров требуется выполнения хотя бы самого слабого ограничения: длина выборки M должна быть больше числа оцениваемых параметров N (M>N). В результате решения неравенства M>N получим, что это возможно при числе ценных бумаг меньше 193. Чтобы получить более достоверные оценки, длина выборки M должна быть в два раза больше числа оцениваемых параметров N (M>2 N). Отсюда, число оцениваемых бумаг должно быть меньше 93.

Таким образом, прямой статистический подход используется для вычисления оценочной доходности ценных бумаг и ковариаций между «самими главными» акциями. При определении индекса Доу-Джонса используется информация о 30 акциях. При этом нужно оценить 30 математических ожиданий и 465-элементов ковариационной матрицы. Итого получается -оцениваемых параметров.

Соответствующий объем выборки для оценок n=30 ценных бумаг равен M=n·t=100·n = 3000. Тогда, объем выборки M =3000, что вполне достаточно для оценки N=495 параметров.

В общем случае, число ведущих компаний, акций которых котируются на биржах США и составляют основную, по общей стоимости, часть рынка обычно оценивают в n = 500. Такое число учитывается в Standard and Poor’s Index. Для этого случая число оцениваемых параметров равно , а длина выборки существенно меньше M=n·t=100·n = 5 10⁴.

Очевидно, что оценить N=1,2575·10 параметров по выборке объемом M=5·10 прямым статистическим методом невозможно.

Однако финансовый аналитик обязан давать рекомендации по возможно большему числу компаний, ценные бумаги которых котируются на фондовом рынке.