Характеристики портфеля ценных бумаг

Для уменьшения риска инвестор покупает на рынке не одну высокодоходную, но ненадежную ценную бумагу, а несколько ценных бумаг различного типа.

При этом инвестор следует пословице: «Никогда не клади все яйца в одну корзину». Дадим теоретическое обоснование данного принципа.

Все последующие рассуждения справедливы для стационарно развивающейся экономики, либо для промежутков времени ее стационарного развития. В нестационарном случае, например, в случае катастрофического кризисного развития экономики данные ниже математические модели не применимы.

Портфелем ценных бумаг инвестора называется совокупность некоторого количества ценных бумаг различного типа – векселей, акций нескольких корпораций, контрактов, опционов и т. д.

Предположение о стационарности позволяет описывать рынок ценных бумаг случайными величинами. В частности, значение эффективности R_i операции с i-ой ценной бумагой можно считать случайной величиной.

Пусть портфель инвестора содержит n ценных бумаг с эффективностями R₁, R₂, ¼, R_n. Предположим, что известны некоторые характеристики эффективностей:

1. Математическое ожидание случайной величины R_i, т. е. средняя ожидаемая эффективность i-ой бумаги.

m_i=E(R_i)

2. Дисперсия (вариация) случайной величины R_i, оценивающая степень отклонения случайной величины R_i от ее математического ожидания:

.

Дисперсия оценивает надежность ценной бумаги и является мерой финансового риска покупки i-ой ценной бумаги.

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение s² имеет ту же размерность, что и m_i и R_i и равно:

.

3. Ковариация двух случайных величин R_i и R_j равна:

.

Она определяет связь между случайными величинами R_i и R_j, т. е. дает количественную оценку связи эффективности i-ой и j-ой ценной бумаги.

Ковариация двух случайных величин имеет размерность равную произведению размерностей и . Если разделить ковариацию на среднеквадратические отклонения случайных величин и , то получится безразмерная величина - коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции k_ij случайных величин R_i и R_j выражается через ковариацию следующим образом:

или .

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и изменяется в пределах от –1 до 1: .

При k_ij=0 статистической связи между эффективностями i-ой и j-ой ценной бумагой нет.

При k_ij=1 эффективности i-ой и j-ой ценной бумаги коррелированны. Величина R_j линейно зависит от R_i, точнее:

,

где a, b – некоторые числа, причем b>0.

В этом случае R_i и R_j изменяются синхронно: росту R_i соответствует рост R_j, уменьшению R_i соответствует уменьшение R_j.

При эффективности R_i и R_j антикоррелированы. Они линейно связаны, т. е.:

,

где a, b – некоторые числа, причем b>0.

Обратим внимание на то, что при корреляции коэффициент при R_i в линейной связи положителен, а при антикорреляции этот коэффициент отрицателен.

Тогда R_i и R_j изменяются асинхронно или находятся в противофазе, т. е. увеличению R_i соответствует уменьшение R_j и, наоборот, уменьшению R_i соответствует увеличение R_j.

Описанных исходных данных достаточно для оценки рискованности портфеля.

Приведем конкретные примеры некоррелированных (независимых), коррелированных и антикоррелированных ценных бумаг (см. рис 6.1.-6.6.).

На рис 6.1. представлено облако измерений эффективностей R₁, R₂ двух независимых ценных бумаг. Центр масс этого облака имеет координаты (m₁ , m₂), где m₁=12,28 - математическое ожидание эффективности первой ценной бумаги, m₂=14,95 - математическое ожидание эффективности второй ценной бумаги. Средний доход второй ценной бумаги m₂ больше чем первой m_{1 (}m_{1 <} m₂₎. Разброс статистических данных вдоль оси OX определяется дисперсией s₁²=2,75, вдоль оси OY дисперсией s₂²=17,31. Вдоль оси OY разброс больше, чем вдоль оси OY (s₂²>s₁²). Это означает, что вторая бумага будет более рискованной, но вторая ценная бумага будет и более доходной. Форма облака измерений характеризуется коэффициентом корреляции. Кругообразной форме облака измерений соответствует коэффициент корреляции близкий к нулю. В нашем случае коэффициент корреляции равен k₁₂=-0,3211 и облако измерений близко к кругообразной форме.

На рис 6.2. представлено облако измерений эффективностей R₁, R₂ двух коррелированных ценных бумаг. Для данного облака измерений коэффициент корреляции равен k₁₂=0,9947. Он близок к единице и облако измерений вырождается в отрезок возрастающей прямой .

На рис 6.3. представлено облако измерений эффективностей R₁, R₂ двух антикоррелированных ценных бумаг. Для R₁ и R₂ коэффициент корреляции равен k₁₂=-0,9969. Он близок к -1 и облако измерений вырождается в отрезок убывающей прямой .

На рис 6.4.-6.6. представлены временные ряды эффективностей R₁, R₂ двух ценных бумаг.

Если коэффициент корреляции близок к нулю, то временные ряды эффективностей R₁, R₂ двух ценных бумаг ведут себя независимо друг от друга (см. рис. 6.4.).

Если коэффициент корреляции близок к 1, то временной ряд R₂ получается из ряда R₁ (в соответствии с формулой ) в результате сдвига графика R₁ по оси OY на и изменении масштаба по оси OY: при растяжения графика вдоль OY, при сжатия графика вдоль OY (см. рис. 6.5.).

Если коэффициент корреляции близок к -1, то временной ряд R₂ получается из ряда R₁ (в соответствии с формулой ) в результате сдвига по оси OY на , зеркального отражения относительно оси ОХ и изменении масштаба по оси OY: при растяжения графика вдоль OY , при сжатия графика вдоль OY (см. рис. 6.6.).

Всякой ценной бумаге может быть поставлена в соответствие пара чисел (s, m), где s оценивает риск, m – эффективность ценной бумаги.

Удобно рассматривать пары чисел (s_i, m_i), соответствующие различным ценным бумагам, как точки на плоскости «риск – эффективность» (см. рис. 6.7).

Рис. 6.7.

Сравнивая ценные бумаги 1, 3, 4, очевидно следует выбрать бумагу 1, так как для нее при одной и той же эффективности риск меньше. Сравнивая 2 и 3 (или 4 и 5), очевидно следует выбрать 2 (или 5), так как при одном и том же риске эффективность больше.

Без дополнительной информации невозможно сделать выбор только между 1 и 2 лежащими на одной прямой, проходящей через начало координат. Действительно, в этом случае увеличение риска приводит к пропорциональному увеличению эффективности.