Ценных бумаг с минимальным риском

Рассмотрим частный случай оптимизации портфеля ценных бумаг. Предположим, что портфель состоит из n-независимых ценных бумаг, причем будем считать, что чем больше номер ценной бумаги, тем больше её доход:

и чем больше номер, тем больше риск:

Тогда портфель статистически независимых ценных бумаг будет описываться следующими уравнениями:

x₁ + x₂ +¼+ x_n = 1 (уравнение баланса) (7.17)

m = x₁ m₁+x₂ m₂+¼+x_n m_n (уравнение дохода) (7.18)

При этом риск портфеля будет равен:

(уравнение риска) (7.19)

Рассмотрим упрощенную постановку задачи оптимизации портфеля с точки зрения осторожного инвестора. Найдем структуру портфеля ценных бумаг с минимальным риском (7.19) при выполнении линейного ограничения уравнения баланса (7.17). При этом доходность портфеля не будут учитываться.

Поиск оптимального портфеля ценных бумаг производиться методом Лагранжа. Функция Лагранжа будет равна:

, (7.20)

где λ - множитель Лагранжа.

Для определения минимального значения нужно приравнять частные производные функции Лагранжа нулю и найти соответствующие значения x₁,x₂ ¼ x_n .

(7.21)

Отсюда

, … (7.22)

Множитель Лагранжа получается из уравнения баланса (7.17). Подставляя (7.22) в (7.17) получим:

Окончательно для множителя Лагранжа получим:

Отсюда структура портфеля ценных бумаг будет иметь вид:

, … (7.23)

Риск из (7.19) и (7.23) будет равен:

Окончательно минимальный риск равен:

(7.24)

Оценка риска имеет вид:

,

где

Очевидно, что при , т.е. при увеличении числа независимых ценных бумаг риск портфеля стремиться к нулю . Этот факт в теории финансового рынка называется эффектом диверсификации портфеля.

Пример 59.