Лекции № 8, 9. Установившееся движение несжимаемой жидкости по закону Дарси

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости.

Если жидкость несжимаема, то ее уравнение состояния . Также пористость m=const. Тогда уравнение неразрывности потока примет вид:

(1)

Подставляя в (1) V , V , V , получим

или

(2)

Расчет основных гидродинамических характеристик одномерного прямолинейно-параллельного фильтрационного потока.

Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В на контуре питания поддерживается постоянное давление P , а на добывающей галерее, отстоящей на расстоянии Lк от контура питания (КП), постоянное давление P . Направляем ось координат ОХ вдоль линии тока, ось OY вдоль КП.

Так как меняется только координата Х, то уравнение (2) принимает вид:

0 (3)

которое, решается при следующих граничных условиях

P=P при x=0;

P=P при x=L (4)

Дважды интегрируя (3) и удовлетворяя условиям (4) получим закон распределения давления в пласте:

P=P - (5)

найдем градиент давления

Тогда скорость фильтрации

= (6)

Дебит галереи определяется выражением

где, F=Bh – площадь поперечного сечения пласта.

с учетом (6) получим, что

(7)

Закон движения частицы жидкости найдем по формуле:

(8)

Разделяя переменные и учитывая (6), получим после интегрирования

(9)

Время полного выбора жидкости из пласта (Т) определяется по (9) при x=L

(10)

Средневзвешенное по объему пластовое давление (Р) найдем по формуле:

(11)

где, V =BhLкm, dV = Bhmdx (12)

(13)

3. Расчет основных гидродинамических характеристик одномерного плоскорадиального фильтрационного потока.

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к гидродинамически совершенной скважине радиусом r , расположенной в центре однородного горизонтального кругового пласта постоянной толщины h. На внешней круговой границе пласта радиусом r , служащей контуром питания, поддерживается постоянное давление Р , на забое скважине давление Р , тоже постоянно.

Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид:

0 (14)

Введя замену r= после соответствующих преобразований из (14) получим:

= 0 или = 0 (15)

Уравнение (15) будем решать при следующих граничных условиях:

P=P при r = r_к;

P=P при r = r (16)

Дважды интегрируя (15) и учитывая (16), найдем закон распределения давления

(17)

Скорость фильтрации = (18)

Дебит скважины , где - поверхность, через которую происходит фильтрация с учетом (18) будем иметь

(19)

Формула (19) называется формулой Дюпюи.

Отношение дебита скважины Q к перепаду давления ∆Р называется коэффициентом продуктивности скважины (К). Из (19)

(20)

Закон движения частицы жидкости найдем из формулы

или (21)

Подставив (18) в (21) и производя интегрирование в пределах от 0 до t и от r до r, получим (22)

Время Т полного отбора жидкости из пласта определяется из (22) подстановкой r = r , т. е. (23)

Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление определяется из соотношения

(24)

где V =

(25)

Подставляя (17) и (25) в (24) и интегрируя полученное выражение в пределах от r до r , получим

(26)

В (26) принято, что r <<r , т. е. r 0 .

4. Расчет основных гидродинамических характеристик радиально-сферического фильтрационного потока.

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к скважине, вскрывшей кровлю однородного пласта весьма большой толщины. Выделим на достаточно удаленной от забоя скважине полусферическую границу радиусом r , на котором сохраняется постоянное давление Р . На забое скважины радиуса r , поддерживается постоянное давление Р .

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации для рассматриваемого потока

=0, (27)